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problème de triangle pour nightmare

Posté par pat94 (invité) 05-04-05 à 19:47

Soit un triangle quelconque A,B,C de côtés a,b,c et surface S.

La médiatrice de l'angle  délimite 2 rectangles : un rectangle de diagonale AB et un rectangle de diagonale AC.

Démontrer (avant le dîner) que les surfaces des 2 rectangles sont les racines de l'équation du 2nd degré :

x^2 + (b/c+c/b)S x + S = 0

Posté par
matheuxxx
Mediatrice ???? 05-04-05 à 19:53

Salut il n'y aurait pas une faute dans l'enonce car une meditrice c'est par rapporta un segment et pas a un angle

Posté par pat94 (invité)triangle suite 05-04-05 à 20:05

désolé : bissectrice de l'angle et il y une erreur dans l'équation

x^2 + (b/c+c/b)Sx +S^2 = 0

...

Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 20:51

Coucou !

Euh , il n'y a pas un probléme dans l'équation ?

Nous savons que si l'on note x_{1} et x_{2} les deux racines d'un polynôme sous la forme x²+ax+b .
On a alors :
x_{1}+x_{2}=-a et x_{1}x_{2}=b

Ici , x_{1} et x_{2} représentent tout deux des surfaces donc sont forcémment positive . Il en est alors de même de leur somme soit x_{1}+x_{2}>0

Nous savons aussi que a , b et c représentent les côtés d'un triangles , ie des longueurs donc sont forcémment positives . On peut donc en déduire que \frac{b}{c}+\frac{c}{b}>0 et comme S est une surface , elle est strictement positive .
Il advient que le produit de ces deux termes est positif : \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)S>0
donc :
-\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)S<0

Or on doit avoir :
\underb{x_{1}+x_{2}}_{>0}=\underb{-\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)S}_{<0} , il y a donc une contraddiction


jord

Posté par pat94 (invité)triangle suite 05-04-05 à 20:59

x^2 - (b/c+c/b)Sx +S^2 = 0 et bosse un peu

Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 21:01

Lol , je trouve que ça fait beaucoup d'erreur pour un si petit énoncé

Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 21:01

J'ai bossé !! tu vas voir je vais te ramener un 15 pour ma disserte d'histoire

Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 21:13

Bon , il y a un autre probléme .

La diagonale d'un rectangle séparant celui-ci en deux , x_{1}+x_{2}=2S
On devra donc avoir :
2S=\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)S
ie
\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=2
soit encore :
b^{2}+c^{2}=2bc
donc :
b^{2}-2bc+c^{2}=0
il advient :
(b-c)^{2}=0
<=>
b=c

Or le triangle est supposé scalène au départ je pense ...


Jord

Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 21:18

Bon non en fait il n'y a pas d'erreur lol (si , elle est sur mon croquis ) . mea culpa


Jord

Posté par
isisstruiss
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 22:14

Après tout ça, tu as pu dînner tout de même, Nightmare?

Isis

Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 05-04-05 à 22:21

Lol oui oui ne t'inquiéte pas isiss

Même si encore une fois , l'ambiance au repas était scientifique , ma mére a encore eu du mal à suivre

Posté par pat94 (invité)Nightmare la honte de son p. 06-04-05 à 21:41

Soit  l'angle en A, c = AB et b = AC

La surface du triangle ABC est :
S = b c sin(Â)/2

1er rectangle de diagonale AB :

Soit H, la projection orthogonale de B sur la bissectrice de Â.
Le triangle A H B est rectangle en H. On a :
AH = c cos(Â/2)
BH = c sin(Â/2)

La surface du rectangle est :
S1 = AH x BH = c2 sin(Â/2) cos(Â/2)
S1 = c2 sin(Â)/2   (car : sin 2a = 2 sin a cos a)

D'où :
S1 = c/b S

Pour le 2ème rectangle de digonale AC, idem :
S2 = b/c S

Les surfaces S1 et S2 sont les racines de l'équation :

x2 - S x + P = 0, S et P étant respectivement la somme et le produit des 2 racines

Soit les racines de l'équation :

x2 - (b/c+c/b)S x + S2 = 0



Posté par
Nightmare
re : problème de triangle pour nightmare 06-04-05 à 22:05

Ouai bon , j'avais trouvé !! j'avais juste oublié de poster ..


jord



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