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Niveau Maths sup
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Problème démo(PCSI)

Posté par Yaya13 (invité) 31-10-04 à 22:24

J'ai un problème pour faire une démonstration si vous pouviez m'aider. Merci

soit E un ensemble et A et B deux parties de E
f: P(E) ---> P(A)xP(B)
   X   ---> (A"inter"X; B"inter"X)
on suppose A"inter"B = "ensemble vide"
montrer que f est surjective.

Posté par Emma (invité)re : Problème démo(PCSI) 31-10-04 à 22:40

Salut Yaya13

Soit (Y;Z) un élément quelconque de P(E) P(E) :
Il s'agit de démontrer qu'il existe X dans P(E) tel que f(X) = (Y;Z)
c'est-à-dire tel que  Y = A X   et        Z = B X

Et bien, soit : posons X = (Y A) (Z B)

Alors f(X) = (Y';Z') avec :
Y' = A [ (Y A) (Z B) ]
Y' = (A Y A) (A Z B) ]
Y' = (Y A) (Z )    car A A = A    et par hypothèse   A B =
Y' = (Y A)
Y' = Y  car on a choisi Y dans P(A), donc Y A

Je te laisse vérifier que, de même, Z'=Z

Donc pour X = (Y A) (Z B), on a bien f(X) = (Y;Z)

Ainsi, pour tout (Y;Z) dans P(E) P(E), il exxite bien X dans P(E) tel que f(X) = (Y;Z)... Donc f est surjective

@+
Emma

Posté par Emma (invité)re : Problème démo(PCSI) 31-10-04 à 22:44

à deux reprise, j'ai écris    " (Y;Z) dans P(E) P(E) "  au lieu de    " (Y;Z) dans P(A) P(B) " , alors que j'utilise le fait que Y est inclus dans A (donc que Y appartient à P(A)

f est bien une surjection, mais... de P(E) sur P(A) P(B) !


Posté par Yaya13 (invité)Merci pour ton aide Emma, mais j ai encore une pitit question!!! 01-11-04 à 07:39

Coucou Emma

Je te remercie pour ton aide.
D'où viens le fait que tu poses
X = (Y"inter"A)"union"(Z"inter"B)?

Posté par Emma (invité)re : Problème démo(PCSI) 01-11-04 à 11:19

[b]Re [/b]

Bon, déjà, comme tu l'as compris, je me suis embrouillée au début à croire qu'il fallait démontrer que f était une surjection de P(E) dans P(E)²... alors qu'en fait, c'est dans P(A) P(B).
Donc dès le début, on considère Y dans P(A) et Z dans P(B) !
Et donc, en réalité, lorsque je pose X = (A Y) (B Z), cela correspond tout simplement à X = Y Z    (puisque Y A , donc A Y = Y      ;    et Z B , donc B Z = Z  !!)

C'est déjà beaucoup plus simple


---------------


Mais, sinon, je ne sais pas trop expliquer rigoureusement ma démarche... je te donne donc mes intuitions :

On cherche X tel que Y = A X     et                      Z = B X

Bon, déjà, on prend l'intersection de X avec A et avec B.
Donc, dans X, il doit forcément y avoir une partie incluse dans A, et une autre partie incluse dans B.
On pourrait penser à faire l'intersection d'une partie de A et d'une partie de B... mais cela tombe vite à l'eau, puisque, par hypothèse, A B = ...
C'est pour cela que j'ai pensé à faire l'union d'une partie de A et d'une partie de B...

En oubliant l'égalité compliquée que je t'ai donnée...
On veut faire l'union d'une partie de A (ça tombe bien, il faut qu'on se serve de Y...) et d'une partie de B (cool... on a Z sous la main)... pourquoi ne pas essayer Y Z (en croisant les doigts ! ) ?
Par chance ça marche

(mais je te rassure : mon égalité n'était pas si compliquée : j'ai suivi exactement le même raisonnement, sauf qu'au moment de trouver une partie de A construite à partir de Y, ayant oublié que Y A, j'avais tout simplement pris Y A )


------------------

J'espère que tu m'auras suivie dans mon raisonnement

@+
Emma

Posté par Yaya13 (invité)re : Problème démo(PCSI) 01-11-04 à 16:01

Ok merci bcp j'ai compris ta démarche à présent.
Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer.

@+
Yaya

Posté par Emma (invité)re : Problème démo(PCSI) 01-11-04 à 16:04

Pas de quoi yaya

Emma



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