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problème : divisibilité par 49 de x²+y²
Posté par Olivier B (invité)
Bonjour,
Je dois démontrer que si x²+y² est divisible par 7, alors il est aussi divisible par 49
je suppose que je dois d'abord démontrer que x et y sont divisibles par 7... ça me semble logique, mais comment le démontrer ?
voilà, c'est pour un truc pour les olympiades de math ; merci de m'aider si vous avez une idée.. ça ne doit pas être bien compliqué ; mais je ne vois pas
Merci !
Bonjour Olivier B;
dans le corps tu peux remarquer que -1 n'est pas un carré:0^2=0,1^2=1,2^2=5^2=4,3^2=4^2=2,6^2=1
tu as x^2+y^2=0 donc si par exemple x n'était pas divisible par 7 tu aurais (modulo 7) donc inversible et donc que
serait un carré
Posté par tutu (invité)re : problème : divisibilité par 49 de x²+y²
Salut,
Une solution méga-bourrinos :
tu regardes le résultat de x²+y² mod 7 pour 0 < x <= y < 7 et tu constates que c'est jamais divisible par 7.
Une soluce 'stuce générale :
soit p premier = 4n+3 (c'est le cas de 7)
En raisonnant modulo p, si a²+b² = 0 avec a!=0 et b!= 0 alors soit b' l'inverse de b modulo p et c = a*b'. On a c² = -1 = (c²)^(p-1)/2 = c^(p-1) bicose (p-1)/2 est impair. C'est contradictoire avec le petit théorème de Fermat. 