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Problème dur probabilité
Bonsoir à tous,
J'ai un contrôle à la rentrée et ait décidé de m'entraîne à faire des exercices. Je suis tomber sur un exercice type bac sur lequel je galère pendant 1 heure.
Énoncé :
Un laboratoire pharmaceutique dispose d'un test sanguin permettant le dépistage à 100% d'une maladie atteignant une proportion p de la population.
Le test étant vraiment très coûteux, on décide de regrouper les prélèvements sa guins effectués selon la méthode décrite ci-dessous, appelée méthode de regroupement.
On effectue le prélèvement d'un échantillon de sang sur N individus. On répartit ces N prélèvements en n groupes. On mélange les échantillons d'un même groupe et on réalise le test sur chacun des n mélanges obtenus. Si le test d'un groupe est négatif, on en déduit que les individus le constituants sont sains.
Sinon, on doit tester chacun des individus du groupe.
On considère N=60 échantillons répartis en n =15 groupe de quatre que l'on numerote de 1 à 15 et que l'on teste.
On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de groupes pour lesquels le test est négatif et Y celle comptant le nombre total de tests nécessaires par cette méthode de regroupement.
1) pour chaque groupe, déterminer la probabilité q que son test soit négatif.
2) déterminer la loi de probabilité de X. En déduire E)(X).
3) Montrer que Y=75-4X et en déduire E(Y) en fonction de p.
Un gros merci d'avance..
Bonjour,
Pour t'aider à démarrer, la probabilité p de la population s'applique aussi à tout échantillon de la population, comme à tout individu isolé.
Donc, dans un groupe de 4, la probabilité que chaque individu soit atteint est aussi p.
Donc, dans un groupe de 4, la probabilité que chaque individu ne soit pas soit atteint est ???
Donc, sachant que les individus sont indépendants, la probabilité que les 4 individus ne soient pas atteint est ???
Bonjour,
Mais pour calculer la probabilité de test négatif de chaque groupe, il faut qu'on commence par calculer la probabilité de test positif. Sauf qu'on ne sait pas justement la probabilite d'obtenir un test positif
La probabilité de test positif pour 1 individu est p.
La probabilité de test négatif pour 1 individu est donc 1-p.
La probabilité de test négatif pour 4 individus, donc un groupe de 4, est (1-p)4.
Bonjour,
Merci j'ai pu répondre à toutes les questions sauf à la question bonus:
On considère que la méthode de regroupement est rentable dès que E(Y) est inférieure ou égale à t.
Montrer que cela devient à 1/4<= (1-p)^4
Rebonjour,
J'ai oublié la question juste avant:
Indiquer le nombre t de test nécessaire si l'on utilise pas la méthode de regroupement.
Ma réponse: l'étude porte sur 4 groupes de 15 personnes. Il y a 1test par personnes donc 15*4= 60tests
Bonjour, Je dois faire le même exercice que toi mais je bloque vraiment, vu que tu y es arrivé tu pourrais m'aider stp?
salut
1) si p est la proba pour un individu d'etre infecté alors q= (1-p)4 est la proba d'avoir aucune personne infectée dans le groupe.
2) loi de X , on calcul P(X=0 groupe infecté)=.... P(X=1 groupe infecté )=... etc jusqu'a P(X=15) =.... en utilisant la loi binomiale B( 15, proba d'avoir au moins une personne infectée dans le groupe) soit B(15,1-q)
par contre pour la 3) je trouve bizarre la formule donnée pour Y car si X = 15 groupes ayant un test negatifs alors Y = 75-4*15= 15 tests a faire !
j'aurai plutot dit on test les 15 groupes puis en fonction du nombre de groupe positifs
on se retrouve avec un nombre de test qui sera 15 + 4*X
Rectification sur mes posts, X est le nbr de groupe ayant un test <0 (lu trop vite désolé )
Du coup X suit une loi binomiale B(15,(1-p)^4.
3)si X est le nbr de groupes ayant un test <0 alors on a bien 15-X groupes ayant un test >0 donc ont fait bien 15 tests +(15-X).4=75-4X
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