x+y+z=2    (1)
x²+y²+z²=6    (2)
xyz=-2   (3)

(1)² ->
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 4
6 + 2xy + 2xz + 2yz = 4
xy + xz + yz = -1
on multiplie les 2 membres par z

xyz + z²(x + y) = -z
-2 +  z²(x + y) = -z
z²(x + y) = 2 - z

(1) ->
(x + y) = 2 - z

z²(2-z) = 2-z

-> z = 2
et z² = 1

z = -1 ; z = 1 et z = 2

Comme les équations de départ sont symétriques par rapport à x , y et z,
on a forcément des solutions symétriques ->

Les triplets qui conviennent sont:

x = -1; y = 1 ; z = 2
x = -1; y = 2 ; z = 1
x = 1; y = -1 ; z = 2
x = 1; y = 2 ; z = -1
x = 2; y = 1 ; z = -1
x = 2; y = -1 ; z = -1
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A+