Essaie de réécrire l'énoncé en utilisant des parenthèses et sans erreurs.
J'ai l'impression qu'il y a au moins 2 erreurs dans l'énoncé.

il n'y avait qu'une erreur:
Un+1=  n           3(n+2)
     _____ Un  +  _______
     2(n+1)        2(n+1)

Une erreur, mais de taille.  
Il manque aussi U(0) ou U(1) car si la suite démarrait à U(0), tous les termes à partir de U(1) seraient = à 3.

Supposons Un < 3,
on a alors U(n+1) < 3n/(2(n+1)) + 3(n+2)/(2(n+1))
U(n+1) < (3n+3n+2)/(2(n+1))
U(n+1) < (6n+2)/(2(n+1))
U(n+1) < (3n+1)/(n+1)
U(n+1) < (3n+3-2)/(n+1)
U(n+1) < (3(n+1)-2)/(n+1)
U(n+1) < 3 - (2/(n+1))
Et donc a fortiori: U(n+1) < 3

Donc on a montré que si Un < 3, on a aussi U(n+1) < 3  (1)

Si U(1) < 3, alors, par (1) on a aussi U(2) < 3
Comme U(2) < 3, par (1) on a aussi U(3) < 3
Et ainsi de proche en proche U(n) < 3 pour tout n de N*

Un est donc majorée par 3.
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Sauf distraction.  

Il manque une partie à la première phrase de ma réponse précédente.

Lire:
Il manque aussi U(0) ou U(1), c'est probablement U(1) car si la suite démarrait à U(0), tous les termes à partir de U(1) seraient = à 3.