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Problème factorielle

Posté par
granolaaa 19-08-18 à 12:30

Bonjour,
je bloque sur un exercice et j'aimerai avoir de l'aide :
trouver le reste de la division de \frac{7n!}{7^n*n!} par 7.
L'objectif est donc de trouver une expression convenable qui puisse nous permettre de travailler modulo 7, mais c'est là que je bloque, j'aimerai bien pouvoir simplifier l'expression de départ mais je ne vois rien du tout, je pense qu'il faudrait commencer par s'occuper de \frac{7n!}{n!} je pense qu'on peut simplifier le n! puisque 7n!=(1*2*...*n-1)*(n*n+1*...*7n) ou peut-être écrire que l'on pourrait écrire(n-1)!=7n!/(n*...*7n)  je n'arrive pas à trouver la bonne forme ...

Posté par
Razesre : Problème factorielle 19-08-18 à 12:49

Bonjour,

Il faut mettre des parenthèses.
(7n)!=n!(n+1)(n+2)\hdots (7n-1)(7n)

Il y a combien de terme dans (n+1)(n+2)\hdots (7n-1)(7n), à savoir que parmi 7 nombres successifs, il y en a 1 qui est multiple de 7.

Posté par Profil amethystere : Problème factorielle 19-08-18 à 12:54

Bonjour

je vois les n factorielles n! sur le numérateur et sur le dénominateur…

déjà tu pourrais les enlever

sans compter ton 7 sur le numérateur que tu peut aussi enlever

ça devient trouver le reste de la division de \frac {1}{7^{n-1}} par 7

donc le reste de la division de 1 par 7^n

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 12:59

Merci de votre réponse, donc l'expression de départ devient :

\frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n}, or dans (n+1)(n+2)...(7n),  n des termes sont des multiples de 7, mais après ?

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 13:02

amethyste @ 19-08-2018 à 12:54

Bonjour

je vois les n factorielles n! sur le numérateur et sur le dénominateur…

déjà tu pourrais les enlever

sans compter ton 7 sur le numérateur que tu peut aussi enlever

ça devient trouver le reste de la division de \frac {1}{7^{n-1}} par 7

donc le reste de la division de 1 par 7^n


Désolé je n'avais pas vu votre réponse et j'ai répondu à Razes

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 13:05

amethyste @ 19-08-2018 à 12:54

Bonjour

je vois les n factorielles n! sur le numérateur et sur le dénominateur…

déjà tu pourrais les enlever

sans compter ton 7 sur le numérateur que tu peut aussi enlever

ça devient trouver le reste de la division de \frac {1}{7^{n-1}} par 7

donc le reste de la division de 1 par 7^n


En fait je me suis tromper au lieu d'écrire (7n)! sur le numérateur , j'ai écrit 7n!, du coup les n! ne se simplifient pas aussi facilement, my bad !

Posté par
Razesre : Problème factorielle 19-08-18 à 13:11

granolaaa @ 19-08-2018 à 12:59

Merci de votre réponse, donc l'expression de départ devient :

\frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n}, or dans (n+1)(n+2)...(7n),  n des termes sont des multiples de 7, mais après ?
Quand même,  un petit effort,  tu as la solution. Tu es en maths sup.

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 13:19

je rentre en maths sup* , mais je pense avoir trouvé c'est bon , merci !

Posté par
carpediemre : Problème factorielle 19-08-18 à 13:28

alors montre ...

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 13:49

Pas de souçi, donc comme je disais on a l'expression \frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n} Il s'agit donc de travailler modulo 7, donc de savoir quand est-ce que (n+1)(n+2)...(7n) ce facteur possède 7n terme, or dans c'est 7n termes, n sont des multiples de 7, ainsi (n+1)(n+2)...(7n)\equiv 0 \pmod 7 donc \frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n}\equiv 0 \pmod 7, la réponse au problème est donc 0...le reste est de 0.

Posté par
carpediemre : Problème factorielle 19-08-18 à 14:09

ilserait bien d'apprende le français !! et de savoir retourner à la ligne ... en faisant des sauts de ligne afin de rendre lisible le texte ...

granolaaa @ 19-08-2018 à 13:49

Pas de souçi, donc comme je disais on a l'expression \frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n} Il s'agit donc de travailler modulo 7, donc de savoir quand est-ce que (n+1)(n+2)...(7n) ce facteur produit possède 7n terme facteurs, or dans c'est ces 7n termes facteurs, n sont des multiples de 7, ainsi (n+1)(n+2)...(7n)\equiv 0 \pmod 7 donc \frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n}\equiv 0 \pmod 7, la réponse au problème est donc 0...le reste est de 0.
et la partie soulignée ne veut rien dire ... est-ce un quand ou plutôt un si ?

entre n + 1 et 7n inclus il y a autant de termes qu'entre n + 1 - n = 1 et 7n - n = 6n

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 14:17

Oui j'ai pas du tout fait attention à la façon dont j'ai tourné mes phrases j'étais occupé à autre choses, du coup je me suis pas relu, et en effet ce n'est pas français

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 14:22

j'étais plus concentré à écrire en latex que en français

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 17:44

carpediem @ 19-08-2018 à 14:09

ilserait bien d'apprende le français !! et de savoir retourner à la ligne ... en faisant des sauts de ligne afin de rendre lisible le texte ...
granolaaa @ 19-08-2018 à 13:49

Pas de souçi, donc comme je disais on a l'expression \frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n} Il s'agit donc de travailler modulo 7, donc de savoir quand est-ce que (n+1)(n+2)...(7n) ce facteur produit possède 7n terme facteurs, or dans c'est ces 7n termes facteurs, n sont des multiples de 7, ainsi (n+1)(n+2)...(7n)\equiv 0 \pmod 7 donc \frac{(n+1)(n+2)...(7n)}{7^n}\equiv 0 \pmod 7, la réponse au problème est donc 0...le reste est de 0.
et la partie soulignée ne veut rien dire ... est-ce un quand ou plutôt un si ?

entre n + 1 et 7n inclus il y a autant de termes qu'entre n + 1 - n = 1 et 7n - n = 6n

En y repensant j'ai quand même un petit doute que le reste soit 0, si on prend le cas le plus simple n=0, on tombe sur un reste de 1 et non de 0! pareil pour n=1!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème factorielle 19-08-18 à 18:11

Bonjour,
Pour n = 1 , je tombe sur 6 .

Une idée : Poser u_{n} = \frac{(7n)!}{7^{n}\times (n!)}

Puis simplifier \frac{u_{n+1}}{u_{n}} pour trouver son reste modulo 7 .

Posté par
DOMOREAProblème factorielle 19-08-18 à 18:17

bonjour,
non!  tu t'es contenté de vérifier que le quotient est un entier puisqu'il y a suffisamment de facteurs 7 au numérateur pour la simplification, mais ensuite tu as une division euclidienne par 7 à effectuer avec l'entier qui reste.

étudie la congruence modulo 7 du produit (7k+1)(7k+2)…(7k+6)  puis ...

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 18:19

Sylvieg @ 19-08-2018 à 18:11

Bonjour,
Pour  n = 1 , je tombe sur  6 .

Une idée : Poser   u_{n} = \frac{(7n)!}{7^{n}\times (n!)}

Puis simplifier  \frac{u_{n+1}}{u_{n}}  pour trouver son reste modulo 7 .


merci de votre réponse ! je vais essayer, mais du coup ma méthode est mauvaise ?

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 18:33

DOMOREA @ 19-08-2018 à 18:17

bonjour,
non!  tu t'es contenté de vérifier que le quotient est un entier puisqu'il y a suffisamment de facteurs 7 au numérateur pour la simplification, mais ensuite tu as une division euclidienne par 7 à effectuer avec l'entier qui reste.

étudie la congruence modulo 7 du produit (7k+1)(7k+2)…(7k+6)  puis ...


Ok donc, en fait j'ai utilisé la méthode de Sylvieg et je tombe sur :
\frac{(7n+1)(7n+2)...(7n+7)}{7} en calculant un+1/un  , or (7n+1)...(7n+6) est congru à 6 modulo 7, je peux donc conclure cette fois-ci non ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème factorielle 19-08-18 à 18:42

Oui, tu as sans doute oublié un (n+1) au dénominateur de \frac{(7n+1)(7n+2)...(7n+7)}{7} .
En remarquant ensuite que 6 -1 [7] ça va le faire

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 18:50

Sylvieg @ 19-08-2018 à 18:42

Oui, tu as sans doute oublié un (n+1) au dénominateur de  \frac{(7n+1)(7n+2)...(7n+7)}{7} .
En remarquant ensuite que  6    -1   [7]   ça va le faire  


en effet j'ai oublié un n+1 au dénominateur, je comprends juste pas trop pourquoi je devrais rajouter que 6 est congru à -1 modulo 7, étant donné que le problème est terminé non ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème factorielle 19-08-18 à 19:25

Non, il n'est pas terminé : Quel est le reste de u2018 par exemple ?

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 20:03

Sylvieg @ 19-08-2018 à 19:25

Non, il n'est pas terminé : Quel est le reste de  u2018  par exemple ?


Je sais pas trop, voilà ce que j'ai essayer
On a
\frac{(7*2018)!}{7^2018*(2018!)} \\ =\frac{(2018+1)(2018+2)...(7*2018)}{7^2018} \\ =\frac{(2018+1)...(2018+6)}{7}*7k*\frac{(2018+8)...(2018+15)}{7}*7k'*....*\frac{(7*2018-6)...(7*2018-1)}{7}*7k
à la fin on devrait tomber sur un truc du genre (-1)^2018 (par intuition), mais je sais pas trop, je suis fatigué

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 20:05

granolaaa @ 19-08-2018 à 20:03

Sylvieg @ 19-08-2018 à 19:25

Non, il n'est pas terminé : Quel est le reste de  u2018  par exemple ?


Je sais pas trop, voilà ce que j'ai essayer
On a
\frac{(7*2018)!}{7^2018*(2018!)} \\ =\frac{(2018+1)(2018+2)...(7*2018)}{7^2018} \\ =\frac{(2018+1)...(2018+6)}{7}*7k*\frac{(2018+8)...(2018+15)}{7}*7k'*....*\frac{(7*2018-6)...(7*2018-1)}{7}*7k
à la fin on devrait tomber sur un truc du genre (-1)^2018 (par intuition), mais je sais pas trop, je suis fatigué


je viens de remarquer que mon dénominateur est mal écrit dans les deux premières fractions: c'est bien      7^2018*2018!   (pour la première) et    7^2018   (pour la seconde)

Posté par
DOMOREAProblème factorielle 19-08-18 à 20:40

bonjour,
2018 n'est pas un multiple de 7, je ne vois pas l'intérêt de ton expression.
Il faut (enfin c'est mon idée!?) repérer les séries  S= (7k+1)(7k+2)…(7k+6), dans le produit (n+1)x...x7n  car le produit S est congru à -1 modulo 7 , on aura donc une congruence modulo 7 du genre (-1)^m, c'est la partie la plus simple.
mais entre ces séries il y a des facteurs 7k' donc après simplification,  il reste des k' (quotient des multiples de 7 par 7)qu'il va falloir traiter
Il faut aussi, il me semble effectuer la division euclidienne de n par 7 pour déterminer la position de n+1 entre 2 multiples de 7.

En fait cela me semble assez compliqué par cette méthode , à toi de voir

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 20:46

DOMOREA @ 19-08-2018 à 20:40

bonjour,
2018 n'est pas un multiple de 7, je ne vois pas l'intérêt de ton expression.
Il faut (enfin c'est mon idée!?) repérer les séries  S= (7k+1)(7k+2)…(7k+6), dans le produit (n+1)x...x7n  car le produit S est congru à -1 modulo 7 , on aura donc une congruence modulo 7 du genre (-1)^m, c'est la partie la plus simple.
mais entre ces séries il y a des facteurs 7k' donc après simplification,  il reste des k' (quotient des multiples de 7 par 7)qu'il va falloir traiter
Il faut aussi, il me semble effectuer la division euclidienne de n par 7 pour déterminer la position de n+1 entre 2 multiples de 7.

En fait cela me semble assez compliqué par cette méthode , à toi de voir


C'est exactement ce que j'ai écris .. et mon problème justement ce sont ces 7k entre chaque facteur (qui eux sont congru à -1 modulo 7)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème factorielle 19-08-18 à 20:54

Bon alors :
u1 -1 [7] et u2/u1 -1 [7]
En multipliant membre à membre ces 2 congruences modulo 7, on obtient ....

Ensuite, essaye de conjecturer le résultat puis de le démontrer par récurrence.

Posté par
granolaaare : Problème factorielle 19-08-18 à 21:14

Sylvieg @ 19-08-2018 à 20:54

Bon alors :
u1 -1   [7]     et     u2/u1   -1   [7]
En multipliant membre à membre ces 2 congruences modulo 7, on obtient ....

Ensuite, essaye de conjecturer le résultat puis de le démontrer par récurrence.


du coup U2\equiv 1 (7) (par produit)
On peut conjecturer que Un \equiv (-1)^n(7).

Soit Pn la proposition : "pour tout n\in\mathbb{N};Un \equiv (-1)^n(7)

*Pour n=0 on tombe bien sur 1 (étant donné que 0! = 1).

*Supposons la proposition vraie au rang n , montrons qu'elle l'est aussi au rang n+1:

D'après l'hypothèse de récurrence Un \equiv (-1)^n(7) de plus on a montré au post précédent qu'on avait
\frac{Un+1}{Un}=\frac{(7n+1)...(7n+6)}{7}

qui est bien congru à 6 soit -1 modulo 7, par produit on tombe bien sur Un+1 \equiv (-1)^{n+1}(7)

Pn est donc vrai pour tout n.
Ainsi le reste est (-1)^n, il vaut donc 1 pour tout n=2k  et -1 pour tout n=2k+1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème factorielle 19-08-18 à 22:54

Pas beaucoup de temps, mais :
-1 n'est pas un reste de division euclidienne.

\frac{Un+1}{Un}=\frac{(7n+1)...(7n+6)}{7} est mal recopié.

Evite de citer nos messages trop souvent, ça rend le tout pénible à lire.

Posté par
DOMOREAProblème factorielle 20-08-18 à 06:17

bonjour,
La simplification d'emblée par n! que tu as choisie ou qui t'a été suggéré est il me semble très maladroite, et m'a entrainé sur des pistes tortueuses.

En effet (7n)! =1x2x...x6x7x8x...x13x14x...x(7n-6)x(7n-5)x...(7n-1)x7n
.

7x14x...x7(n-1)x7n=7n xn!

Il y a n facteurs P_k chacun congru à -1 modulo 7

d'où le reste de la division de l'expression du début par 7 congru  à (-1)^n  le reste est donc 1 où 6 selon que n est pair ou impair


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