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Probleme fonctions polynomes
J'ai cet exercice à faire mais je suis bloquée à la question 1. :
"Dans un repère, on considère les fonctions polynômes du second degré dont les expressions sont données ci-dessous.
f1 (x) = -x2+ 3x + 2 et f2(x) = 3x2 - 3x + 1.
f3 (x) = -x2- 4x + 2 et f4 (x) = 2x2- x + 5.
1. Représenter sur la calculatrice les courbes des fonctions f1 et f2 et conjecturer leur position relative.
2. Étudier le signe du polynôme f1(x) - f2(x) puis valider ou infirmer les conjectures de la question 1.
3. Reprendre les questions 1 et 2 avec les fonctions f3 et f4"
bonjour
conjecturer la position relative de 2 courbes,
c'est dire laquelle te semble au-dessus ou au-dessous de l'autre, et sur quel(s) intervalle(s)
Bonjour,
Merci de votre réponse mais comment je fais cela ??
On les traces à la calculette et après on fait comment ??
pour la question 2) tu trouveras des outils ici, si besoin :
3-Fonctions du second degré : équations, signe et inéquations
il s'agit d'un conjecture
i.e. ici une hypothèse à partir de ce que tu vois sur la calculette;
du style :
il semblerait que la courbe....? soit au-dessus de la courbe ...? sur tel intervalle
puis ....?.. sur tel autre intervalle
etc.
tu comprends ce que tu dois faire ?
Mais la question 2) j'ai compris on remplace par les formules et on étudie le signe de la fonction sous forme réduite et on trouve les phases négatives et positives mais je ne comprend pas le rapport avec la question1)
tout simplement,
la question 2 te permettra de confirmer par calcul l'hypothèse que tu auras émise par seule lecture graphique.
autrement dit, pour la 1), pas question de faire des calculs !
tu exprimes juste ce que tu vois sur le graphique, par une phrase "simple", comme proposée ci-dessus.
et en 2) tu démontres ton hypothèse
Comment on sait si elle est au dessus ou en dessous de l'autre courbe?? Je comprend le principe mais comment on fait pour déterminer si une courbe est au dessus d'une autre ?
si ta question est :
quel rapport entre : étudier le signe de f1(x) - f2(x) et la position relative ?
f1(x) - f2(x) > 0 
f1(x) > f2(x)
et donc la courbe de f1 est au-dessus de celle de f2.
et inversement pour f1(x) - f2(x) < 0
comment on fait pour déterminer si une courbe est au dessus d'une autre ?
visuellement, on repère laquelle est dessus ou dessous.
je vais essayer de t'expliquer, mais via clavier...
utilise mon graphique, plus lisible que ta calculette, f1 en bleu, f2 en rouge.
prends une règle, et pose-la à gauche sur le graphique, parallèlement à l'axe des ordonnées (verticale, donc)
et décale ta règle petit à petit vers la droite (donc tu avances dans le sens positif de l'axe des abscisses)
==> relève, au fur et à mesure, sur la partie gauche, quelle courbe est dessus ou dessous, selon la valeur de x.
Mais comment on sait si f1(x) > f2(x)? ----- en question 2 et tu m'as dit que tu savais faire
Graphiquement f1<f2 au debut et a la fin ---- oui, mais va falloir être plus précis, donner des intervalles (toujours selon le relevé graphique)
je dois m'absenter et passe le relais si un autre intervenant est disponible.
montre tes réponses et calculs si tu as besoin d'aide.
J'ai bien compris mais on ne sais pas les coordonnes des points A et B et c'est seulement grâce a eux qu'on pourra dire quand f1>f2 car c'est entre A et B que la courbe bleu est au dessus de la courbe rouge sauf qu'on ne sait pas leur valeur exacte.
pour la 1) puisqu'il s'agit d'une lecture graphique, tu donnes des valeurs approchées des abscisses de A et B
pour la 2), tu les trouves par calcul, donc en résolvant... quelle équation ?
Donc pour la 1)
f1<f2 sur ]-infini; -0,1]U[1,85;+infini[ ??
Pour la deux on ne doit pas résoudre une équation il faut seulement étudie le signe du polynôme f1(x)-f2(x) donc on réduit et on obtient une forme ax2 + bx+c donc on peut chercher les racines et obtenir le signe du polynôme
1) la courbe de f1 semble en effet se situer en-dessous de celle de f2 sur cet intervalle,
aux erreurs de lecture près (j'aurais dit 1.65 au lieu de 1.85, me semble-t-il)
et inversement f1 semble en effet se situer au-dessus de celle de f2 sur l'intervalle ...?
au-dessus, en-dessous : ce sont ces termes qui sont attendus pour conjecturer la position relative des courbes.
2) Pour la deux on ne doit pas résoudre une équation ..... on peut chercher les racines
ah?... et ce n'est pas résoudre une équation que de chercher les racines ? 
hormis cette petite confusion, tu as bien compris la démarche et comment faire.
continue.
Donc pour la 1) on écrit simplement la courbe de la fonction f1 semble en dessous de celle de f2 sur l'intervalle ]-infini; -0,1]U[1,65;+infini[ tandis qu'elle semble au dessus sur l'intervalle ]-O,1;1,65[ ??
Pour la 2)
on réduit donc l'expression et on trouve une fonction f(x)= -4x2 +6x+1. On cherche donc ses racines a l'aide du delta et on fait donc le tableau de signe.
Mais je ne voit pas le rapport avec la 1) du coup
mais f1(x)-f2(x) est inférieur à 0 sauf entre ses racines x1 et x2
en quoi cela repond à la question de dire cela ??
déroule ta question 2)
je pense que tu comprends mieux quand tu auras fini d'étudier le signe de f1-f2
mais f1(x)-f2(x) est inférieur à 0 sauf entre ses racines x1 et x2---- à la fin de la question 1, tu n'en sais rien du tout !
il est important de comprendre qu'une conjecture n'est qu'une hypothèse (ici, par lecture graphique).
donc elle peut être fausse !
dire ceci : "f1(x)-f2(x) < 0 " relève du calcul (que tu vas faire en 2)
c'est ton résultat à la question 2) qui va confirmer (ou pas !) ta conjecture.
saisis-tu mieux la nuance ?
Mais j'ai trouve les racines et je sais donc que f1-f2< O sur ]-infini; x1[U]x2;+infini[
et f1-f2 >0 sur ]x1;x2[
tu as donc terminé la question 2)
pour conclure :
d'après le tableau de signe de f1-f2, sur l'intervalle des racines ]x1;x2[
f1(x)-f2(x)< 0 f1(x) < f2(x)
ça dit clairement que pour tout x de cet intervalle, l'image par f1 est inférieure à celle par f2
et donc ça dit aussi que la courbe de f1 est située au-dessous de celle de f2
ce qui confirme ta conjecture du 1)
et mm procédé à expliquer pour la réunion des intervalles à l'extérieur des racines
d'accord ?
tu as donc terminé la question 2)
pour conclure :
d'après le tableau de signe de f1-f2, sur l'intervalle des racines ]x1;x2[
f1(x)-f2(x)> 0
f1(x) > f2(x)
ça dit clairement que pour tout x de cet intervalle, l'image par f1 est supérieure à celle par f2
et donc ça dit aussi que la courbe de f1 est située au-dessus de celle de f2
ce qui confirme ta conjecture du 1)
et mm procédé à expliquer pour la réunion des intervalles à l'extérieur des racines
à quel moment tu ne comprends pas ? précise.
éventuellement, montre moi ton tableau de signes de f1-f2
13 à la place de je ne te montre que pour l'intervalle entre les racines :
courbe de f1 et f2
courbe de f1-f2
tu vois que sur cet intervalle, là ou f1-f2 est positive, la courbe de f1 est au-dessus de f2 ?
ou pas ?
oui oui ca je vois bien
bon alors, que ne comprends tu pas ensuite ?
dire f1(x) - f2(x) > 0 c'est dire (équivalent à ) f1(x) > f2(x) --- d'accord là aussi ?
= b²-4ac = 6²-4 * (-4) * 1 = 36+16=52pour une valeur de x donnée, appartenant à l'intervalle entre les racines,
on a f1(x) > f2(x)
ex: pour x= 1 f1(1 ) =4 et f2(1) = 1 on a bien f1(1)> f2(1)
regarde mon premier graphique de 16h23.
le point de coordonnées (1; f1(x)) est géométriquement, physiquement, situé au-dessus du point de coordonnée (1; f2(1))
et il en va de mm pour tout x de l'intervalle.
et ainsi la portion de parabole de f1 est au-dessus de la portion de parabole de f2.
toujours d'accord ?
oui, les erreurs de calcul arrivent à tout le monde.
calcule les valeurs approchées de tes racines
et compare avec ta conjecture graphique.
donc oui c'est bon je chanche mes racines par (3-racine carrée de 13)/4 et (3+racine carrée de 13)/4
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