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problème géométrie dans l espace pour demain
Bonjour à tous ceux qui pourrons m'aider
voici le problème
Dans un cube ABCDEFGH, IJK appartiennent respectivemnt aux arêtes [AE]
[AB] et [BF] et sont tels que le triangle IJK soit rectangle en J.
Les droites parallèles à (AH) passant par I,J,et K coupent respectivement
le plan (EFG) en I' J' et K'
1) démontrer que J' appartient au segment [GH]
2) On pose AJ = a - AI = b - et BK = c
a) exprimer I'H , HJ',J'G et GK' en fonction de
a,b,c,
b) En déduire que les droites (I'J') et (J'K') sont
perpendiculaires
J'ai fait le schéma mais je n'arrive pas à trouver le théorème qui
me permet de démontrer que J' appartient a GH
Merci pour votre aide
pupuce
Pour montrer que: J' appartient à GH :
(AH) // (BG) puisque ABCDEFGH est un cube. -> les points A, B , H et G
sont coplanaires (plan ABHG)
(JJ') // (AH) par hypothèse.
Le point J est sur AB et par là, J est dans le plan ABHG
-> La droite(JJ') a un point (J) dans le plan ABHG et est // à
une droite de ce plan.
La droite JJ' est donc dans le plan ABHG
Mais par hypothèse, J' est dans le plan EFG (qui est aussi la plan
EFGH)
Donc J' ne peut être qu'à l'intersection des plans ABHG
et EFGH, cette intersection étant la droite (HG).
J' est donc sur la droite (HG) (1)
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Comme (JJ') // (AH) et que J n'est pas dans le plan DAEH , (JJ')
est // au plan DAEH.
(JJ') ne perce donc jamais le plan DAEH.
Comme (JJ') // (BG) et que J n'est pas dans le plan BFGC , (JJ')
est // au plan BFGC.
(JJ') ne perce donc jamais le plan BFGC.
la droite (JJ') est donc entièrement comprise dans l'espace
situés entres les plans // DAEH et BFGC. (2)
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(1) et (2) ->
J' est sur [HG]
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Sauf distraction
(Il y a probablement plus simple).
Pour la suite, on peut par exemple faire:
KK' // AH par hypothèse.
AH // BG
-> KK' // BG
et K est sur (BF)
-> (KK') est dans le plan BFG
comme K' est aussi dans le plan EFG, K' est à l'intersection
des 2 plans BFG et EFG -> K' est sur la droite commune aux 2
plans , soit la droite (GF).
...
K' est sur [GF]
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Avec L la longueur d'une arêtes du cube, on a:
I'H = b
HJ' = a
J'G = L - a
GK' = c
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dans le triangle rectangle I'HJ', Pythagore ->
I'J'² = I'H² + HJ'²
I'J'² = b² + a² (1)
dans le triangle rectangle IAJ, Pythagore ->
IJ² = AI² + AJ²
IJ = b² + a² (2)
-> I'J' = IJ
--
On calcule J'K' dans le triangle J'GK' et on calcule
JK dans le triangle JBK
-> on conclut que J'K' = JK
--
On montre ensuite que I'K' = IK
--
-> les triangles IJK et I'J'K' sont isométriques comme
ayant leurs 3 cotés égaux 2 à 2.
-> angle(I'J'K') = angle(IJK)
et comme angle(IJK) = 90° par hypothèse ...
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Sauf distraction.
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