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Niveau terminale
Problème gravitationnel
Posté par Perleflamme (invité)
Bonjour ou bonsoir à toutes et à tous (selon l'heure à laquelle vous lisez ce message).
Mes Travaux Pratiques Encadrés ont pour thème la gravitation et l'équilibre. Mon binôme s'est progressivement tourné vers l'étude des interactions gravitationnelles entre deux corps. Nous avons essayé de programmer un algorithme capable de calculer les positions successives de chacun des deux corps, que l'on a assimilé à des points, qui, pour une meilleure représentation, sont représentés par des cercles.
Le problème est que l'algorithme connaît quelques problèmes. Il semblerait que certaines équations utilisées ne soient pas exactes. J'aimerais donc savoir lesquelles sont justes, lesquelles sont fausses et, si possible, comment pallier aux erreurs découvertes. Voici les équations utilisées :
pour le calcul d'une distance à partir de deux points en coordonnées cartésiennes...
D = 
((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
pour le calcul de la vitesse due aux forces gravitationnelles, sachant que M2 représente la masse du corps attracteur et V la vitesse du corps considéré...
V = G*M2/d2
pour le calcul de la pente d'une droite affine...
a = (y1 - y2)/(x1 - x2)
pour le calcul de l'angle entre la droite affine et l'axe des abscisses...
= arctan(a)
pour le calcul de l'ordonnée d'un point par produit scalaire, avec b l'ordonnée du point d'origine, V la norme du vecteur considéré et alpha l'angle...
y = V*cos()+b
Voilà, je pense que c'est à peu près tout.
Bonjour
pour le calcul de V j'ai un doute
Newton -> F = G * M1 * M2 / d²
Eq fondamentale de la dynamique F = m * a = m * V'
donc V'=G * M1 /d² et V = G * M1 / d² * t dans le cas du mouvement sur un axe. Dans le cas général la vitesse est un vecteur avec 3 composantes.
Posté par Perleflamme (invité)re : Problème gravitationnel
D'accord, merci. Si je calcule les positions successives, est-ce que je me retrouve directement avec V' à la place de V (les intervalles sont suffisamment petits pour négliger les erreurs de calcul de l'ordre du 1012ème) ? Cela signifierait que je me retrouve avec une vitesse instantannée Vi équivalente à V (je suis aussi passé par l'accélération et la force pour trouver la vitesse).
Par contre, j'ai oublié de préciser que l'angle de la dernière équation était celui entre la droite affine trouvée et l'axe des ordonnées.
Posté par ericbfd (invité)re : Problème gravitationnel
Je ne crois pas que le système de coordonnées cartesiennes soit le plus adapté a ce type de probleme.
La force gravitationnelle s'exerce sur des corps en mouvement circulaire ou elliptique dans un plan. Le systeme de coordonnées cyclindriques (r,
) est particulierement efficace pour resoudre ce genre de probleme. On peut aussi utiliser le repere de Frenet (T,N).
La 2eme loi de Newton s'ecrit:
m a = G m M / r2
avec a = aT + aN
aT: acceleration tangentielle
aN : acceleration normale (ou perpendiculaire)
En projetant sur l'axe r, on obtient:
m aN = G m M / r2
or aN = V2/r
d'où V = (G M/r)
Tu peux maintenant remplacer r par ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)