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Problème integrale autorisé

Posté par
FerreSucre 02-02-21 à 13:31

Bonjour je me posais une question, on a :

e^x = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}

Et je me demandais comme on sait que :

I = \int_{-\infty}^{0}{e^xdx} = 1

On a le droit de faire ?:

I = \int_{-\infty}^{0}{\sum_{n=0}^{+\infty}{\dfrac{x^n}{n!}dx} = [ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}]_{-\infty}^{0}

I = - \lim_{x \to +\infty} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^n}{n!} = 1

On a le droit de faire ça ? Je sais que échanger les sommes et les intégrales est parfois interdit (je sais pas quand), c'est pour ça. Merci

Posté par
Zormuchere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 14:16

Bonjour
échanger une somme et une intégrale, on sait le faire quand c'est une somme finie

\sum_{n=0}^N \int_{-\infty}^0 \dfrac{x^n}{n!}\,\mathrm{d}x~=~\int_{-\infty}^{0}\sum_{n=0}^{N}\dfrac{x^n}{n!}\,\mathrm{d}x

Pour passer à la limite, il y a des théorèmes qu'on voit en théorie de la mesure. Pour ce cas, tu peux regarder le théorème de convergence dominée

Posté par
Zormuchere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 14:21

En fait ici, c'est un peu plus compliqué car \dfrac{x^n}{n!} n'est pas intégrable sur ]-\infty,0]
ce que j'ai écrit à gauche n'existe pas

Mais on peut écrire  \sum_{n=0}^N \int_{A}^0 \dfrac{x^n}{n!}\,\mathrm{d}x~=~\int_{A}^{0}\sum_{n=0}^{N}\dfrac{x^n}{n!}\,\mathrm{d}x   où A est un nombre négatif

en espérant n'avoir pas fait de bêtise cette fois-ci
une fois avoir établi l'égalité pour N->infini, on pourra faire tendre A vers -infini

Posté par
Zormuchere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 14:32

En l'occurrence, la série exponentielle est une série entière (je ne sais pas si tu as déjà vu ce terme, ce sont des séries de fonctions plus faciles à étudier que les séries de fonctions standard)
On dispose d'outils pour dire qu'une série entière admet comme primitive la somme des primitives de ses termes

Posté par
FerreSucrere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 17:10

D'accord mais pourquoi :

\dfrac{x^n}{n!} n'est pas integrable sur ]-\infty;0] ?

Posté par
Zormuchere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 17:16

par intégrable, je voulais surtout dire d'intégrale finie.

On peut en général donner un sens à l'intégrale en disant qu'elle est infinie, mais pas dans le cadre où on linéarise l'intégrale et qu'on établit des égalités comme ça, on veut des choses finies

Posté par
Zormuchere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 17:17

l'intégrale  \int_{-\infty}^0 \dfrac{x^n}{n!}\,\mathrm{d}x   est infinie

Posté par
FerreSucrere : Problème integrale autorisé 02-02-21 à 17:17

Ah oui je suis bête mdr j'avais oublié pardon


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