Niveau première

Problème, limites de polynômes

Posté par
samouray 12-01-13 à 17:59

Bonjour, j'ai une petite question concernant les limites de polynômes.
par exemple, en cherchant la limite de $x²-x-1$ en l'infini; la démonstration fut:
$\lim_{x\to +\infty}x²-x-1=\lim_{x\to +\infty}x²(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²})= \lim_{x\to +\infty}x²(1-0-0)=\lim_{x\to +\infty}x²$
enfin, ce qui me semble bizarre c'est qu'on peut écrire $\lim_{x\to +\infty}(x²-x-1)-x²=0$ dans ce cas.
Est-ce qu'on peut développer l'avant dernier passage même si $x² \times 0$ semble une forme indéterminé.
Je suis un peut gêné, aidez moi s'il vous plaît.
Cordialement

Posté par re : Problème, limites de polynômes 12-01-13 à 18:09

Salut,
La rédaction de ce truc me semble très, très "limite" ... (sans jeu de mot).
Je dirais plutôt :

$\lim_{x\to +\infty}x²-x-1=\lim_{x\to +\infty}x²(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²})$

Or $\lim_{x\to +\infty}x²=+\infty$ et $\lim_{x\to +\infty}(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²})=1$

Donc $\lim_{x\to +\infty}x²-x-1= +\infty$

Posté par re : Problème, limites de polynômes 12-01-13 à 18:10

Bonjour,

Citation :
$\lim_{x\to +\infty}x²-x-1=\lim_{x\to +\infty}x²(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²})$

Jusque là ça va ? C'est juste de la factorisation par x².

Vous pouvez remarquer que $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$

D'où $\lim_{x\to +\infty}1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²} = 1 + 0 + 0 = 1$

D'où $\lim_{x\to +\infty}x²(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x²}) = \lim_{x\to +\infty}x² = +\infty.$

Ainsi, $\lim_{x\to +\infty}x^2 - x - 1 = +\infty$ (Au passage, remarquez qu'en $\pm\infty$ la limite d'un polynôme est la limite en $\pm\infty$ du terme de plus haut degré)

Citation :
enfin, ce qui me semble bizarre c'est qu'on peut écrire $\lim_{x\to +\infty}(x²-x-1)-x²=0$ dans ce cas.

C'est normal, car ça c'est faux : Il s'agit d'une forme indéterminée du type $\infty - \infty$ (A ne pas écrire dans une copie !)

En effet : $\lim_{x\to +\infty}(x²-x-1)-x²=\lim_{x\to +\infty}x²-x-1-x²=\lim_{x\to +\infty} -x -1 = \lim_{x\to +\infty} -x = -\infty$ .

En espérant vous avoir éclairé.

Mathx96

Posté par re : Problème, limites de polynômes 14-01-13 à 19:42

Merci beaucoup pour vos réponses. C'est clair maintenant

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fiches de niveau première
115 fiches de mathématiques en première disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Problème, limites de polynômes

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths