Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau seconde
Partager :

problème mathématique sur le cercle trigonométrique

Posté par
jackobin
11-07-19 à 11:12

bonjour a tous,
j'ai actuellement un problème épineux, le voici :

I - Soit la fonction 𝑓 définie sur [−2𝜋;2𝜋] par 𝑓(𝑥)=𝑥+sin𝑥
1. Calculer les images des réels suivants : 0,𝜋/6,𝜋/4,𝜋/3,𝜋/2.
a. Sur [0;𝜋/2] , quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la fonction 𝑓 ?
b. En utilisant la définition d'une fonction croissante, démontrer que 𝑓 est croissante sur [0;𝜋/2] .
  2. Résoudre dans [−2𝜋;2𝜋] l'équation 𝑓(𝑥)=𝑥  
3. Dans un repère orthonormé, on a représenté la courbe 𝒞 de 𝑓 ainsi que la droite 𝒹  d'équation 𝑦=𝑥.
a) Vérifier graphiquement les solutions de l'équation f(𝑥)=𝑥 .
b) Résoudre graphiquement l'inéquation 𝑓(𝑥)<𝑥.
c) Par lecture graphique, donner les valeurs approchées des images de −3𝜋/2,−𝜋,3𝜋/2 et 𝜋. Que remarque -t-on ?
4. Soit 𝑔(𝑥)=(𝑥−cos𝑥)(𝑥+cos𝑥)−2𝑥sin(−𝑥)−(𝑓(𝑥)) ²
a) Calculer 𝑔(0) et 𝑔(−𝜋𝜋).
b) Simplifier l'écriture de 𝑔(𝑥) et retrouver les résultats précédents.
l'image, je ne sais trop guère ou elle apparaitra, représente le graphique de la question 3

problème mathématique sur le cercle trigonométrique

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 11-07-19 à 11:20

je n'ai pas rien fait bien sur voici mes réponses :
1
00     (sin0=0+0=0)                    =0
Pie/6      = pie/6+1/2                       =3+pie/6
Pie/4     =pie/4+racine de 2/2      =pie+2 racine de 2/4
Pie/3     =pie/3+racine de 3/2       =2pie+3racine de 3/6
Pie/2     =pie/2+1                            =pie+2/2

A-)
On peut conjecturer que le sens de variation de la fonction f est un sens croissant car l'image de 0est plus petite que l'image de pie/2

B-) hélas c'est là que je ne suis plus en mesure de répondre, je n'arrive aps a formuler une réponse claire et juste
Soit a et b deux réels de  [0 ;pie/2] tel que a<b
F(b)-f(a)= b+sin b-a-sin a=b-a+sin b - sin a
A<b donc b-a>0
on sait qu'une fonction est croissante si pour tous réels a et b tel que a<b alors f(a)<f(b)

2-)
F(x)=x+sinx
X+sinx=x
Sin x = 0
On sait que sin 0 = 0.
Donc sin x= sin 0
Or on sait que pour tout réel a et b
cos a = cos b
si a=b+2kpie avec k E Z
si a=-b+2kpie avec k E Z
ici a=x et b=0
Sin x =sin 0
(   x = 0 + 2kpie   avec k E Z
(   x = - 0 + 2kpie   avec k E Z
(   x = 2kpie
(    x = 2kpie
Or lorsque l'on remplace k par le réel 0, résultat des équations du début.
2kpie = 0 = b
Donc pour tout réel x, sin x =sin pie lorsque x= 2kpie avec k E Z
on en déduit que les solutions de l'équation sur R sont S = (pie + 2kpie avec k E Z)
néanmoins on cherche les solutions de l'équations dans l'intervalle [-2pie ;2pie]
on cherche donc k E Z tel que -2pie=<2kpie=<2pie===-2pie/pie=<2k=<2/pie===-2/2=<k=<2/2
-1=<k=<1
Donc on en déduit que k peut prendre les valeurs k=-1, k=1 et k=0
Avec les valeurs trouvées on calcule 2kpie
Avec k=-1       2*-1*pie=-2pie
Avec k=0        2*0*pie=0pie
Avec k=1        2*1*pie=2pie

De plus on peut voir dans le tableau des valeurs remarquable que pie et donc par opposition -pie, ont eux aussi 0 comme sinus.

On en déduit que les solutions de l'équation x+ sin x=x dans l'intervalle [-2pie ;2pie] sont
S={-2pie,-pie,0pie,pie,2pie}
je sais que cette réponse est fausse néanmoins j'ai beau avoir fait et refait les calculs je ne trouve guère de réponse plus convenable

3-)

a-)
f(x)=y
donc f(x)=x est égal à y=x
on en déduit donc que les intersections entre la courbe C et la courbe D, dans l'intervalle [-2pie;2pie], sont les solutions de l'équation x+ sin x= x.
On peut donc voir graphiquement que dans l'intervalle [-2pie ; 2pie] les solutions,
S={-2pie,-pie,0pie,pie,2pie}, sont bien les bonnes solutions à l'équation.

b-)   f(x)<x =y<x graphiquement ce sont donc les valeurs de f(x) dont l'ordonnée est d'une valeur supérieure à l'ordonnée des points de la droite d'équation y=x qui ont la même abscisse. Ces valeurs sont les solutions à l'inéquation f(x)<x, avec f(x) dans l'intervalle [-2pie ;2pie]
on peut voir graphiquement que ces valeurs sont contenues dans l'intervalle [-2pie ;-pie] et dans l'intervalle [0 ;pie]
les solutions de l'inéquation f(x)<x sont S= {[-2pie ;-pie] U [0 ;pie]}
la également j'ai des doutes quand a la justesse de ma réponse

c-) par lecture graphique on peut voir que l'image de -pie est approximativement égale à -3.
par lecture graphique on peut voir que l'image de pie est approximativement égale à 3.
par lecture graphique on peut voir que l'image de -3pie/2 est approximativement égale à -3.
par lecture graphique on peut voir que l'image de 3pie/2 est approximativement égale à 3.
On remarque que les images de 3pie/2 et de pie sont identiques, même lorsque les deux valeurs deviennent négatives.
et ici aussi

4
A
G(0)=(0-cos 0)(0 + cos 0)-2*0*sin(-0)-(f(0))²= (0-1)(0 + 1)-0-0-(0+0)²= -1

G(-pie)=(-pie-cos-pie)(-pie + cos - pie)-2*-pie*sin + pie-(f(-pie))²= (-pie-1)(-pie + 1)+2pie*0 - (-pie+0)²= pie²-pie+pie-1 -pie²=pie²-pie²-pie+pie-1=-1
B
X²-(cos x)²-2x*sin(-x)-(x + sin x)²= X²-(cos x)²-2x*sin(-x)-x²+2x*sin x+(sin x)²
=x²-x²-(cos x)²+(sin x)²-2x*sin(-x)+2x*sin x=-(cos x)²+(sin x)²
-(cos 0)²+(sin 0)²=-(1*1)+(0*0)=-1+0=-1
-(cos -pie )²+(sin -pie)²=-(1*1)+(-0*-0)=-1-0=-1

merci d'avance de vos réponses éclairées qui me permettront de finir cet exercice pour le moins difficille a mes yeux

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 11-07-19 à 11:24

je récapitule mais en gros je n'arrive pas a répondre sur le 1 B
ma réponse est fausse sur le 2
et le 3 b et c j'ai des doutes
(pour plus de clarté devant mon pavé
j'espère que je n'ai pas fait une boulette en ne me présentant pas (je le fais tout de suite) ou en mettant mon sujet au mauvais endroit, j'arrive juste sur le forum
je vous prie de m'excuser si tel est le cas
cordialement
jackobin[code][/code]

Posté par
Sylvieg
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 11-07-19 à 11:49

Bonjour,
Pour 1)a), tu peux constater aussi que  f(0) < f(𝜋/6) < f(𝜋/4) < f(𝜋/3) < f(𝜋/2).

Pour 1)b), il faut utiliser le sens de variation de la fonction  sinus  sur l'intervalle [0;𝜋/2].

Pour 2), tu es censé savoir résoudre dans    l'équation    sin(x) = 0  dans  [0;2𝜋]  puis dans  [−2𝜋;2𝜋] .

Pour 3)a), ce sont les abscisses des intersections. Et  D  est une droite.

3)b) à revoir avec la courbe sous la droite pour  f(x) < x .

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 11-07-19 à 18:50

merci de m'avoir mis le nez sur mes deux erreurs en 1a et 3a
par contre pour le 1b je ne comprend pas votre réponse, que la fonction soit sinus ou pas quel changement cela entraine ? et ce que vous avez mis n'est il pas la question avec l'adjectif sinus en plus ? je suis un peu perdu là
pour le 2 je ne comprend pas ou est l'erreur dans ce que j'ai fait, mais erreur il y a au vu des résultats, en effet j'ai essayé de résoudre dans R là==>
F(x)=x+sinx
X+sinx=x
Sin x = 0
On sait que sin 0 = 0.
Donc sin x= sin 0
Or on sait que pour tout réel a et b
cos a = cos b
si a=b+2kpie avec k E Z
si a=-b+2kpie avec k E Z
ici a=x et b=0
Sin x =sin 0
(   x = 0 + 2kpie   avec k E Z
(   x = - 0 + 2kpie   avec k E Z
(   x = 2kpie
(    x = 2kpie
Or lorsque l'on remplace k par le réel 0, résultat des équations du début.
2kpie = 0 = b
Donc pour tout réel x, sin x =sin pie lorsque x= 2kpie avec k E Z
on en déduit que les solutions de l'équation sur R sont S = (pie + 2kpie avec k E Z)
ou est donc l'erreur dans mes calculs ? mystère a mes yeux fatigués
et ensuite pour quelle raison également doit on calculer sin(x)=0 dans [0;pi] ?

je repose au final les même question et j'en suis désolé mais je ne comprend toujours pas (je ne suis pas très futé désolé) si sa ne vous dérange pas je suis sur que vos lumières me seront d'une aide précieuse

Posté par
larrech
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 11-07-19 à 18:59

Bonjour jackobin,

S'il te plait écrit pi (sans e) pour désigner la lettre grecque . Avec un e au bout, c'est l'oiseau !

Posté par
Sylvieg
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 11-07-19 à 19:12

Ou utilise le bouton   .

Tu cherches à résoudre  sin(x) = 0  et tu utilises  cos(a) = cos(b)    
Va voir dans   Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie
"équation sinus dans   " y est après "équation cosinus dans   " dans la partie "Le cercle trigonométrique et la résolution d'équations".
Une équation avec sinus ne se traite pas comme une avec cosinus.

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 12-07-19 à 09:44

désolé pour pie je met maitenant
sinon pour le 2 j'ai trouvé sa :
F(x)=x + sin (x)
X + sin (x)=x
Sin (x) = 0
On sait que sin (0) = 0.
Donc sin (x)= sin (0)
On trace la droite d'équation y=a, soit y=0
L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation sin(x)=sin(α)
On en déduit que sin (x) = sin (a) si x=a+2k ou si x=pi-a+2k avec k E Z
On recherche les solutions appartenant a l'intervalle [-2 ;2]
Les seuls réels qui conviennent sont les réels : -2, -, 0, pi, 2
On en conclu que les solutions de l'équation f(x)=x dans l'intervalle [-2 ;2] sont
S={-2,-,0,,2}

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 12-07-19 à 09:45

pardon je voulais dire on trace la droite d'équation … dans le cercle trigonométrique

Posté par
mathafou
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 12-07-19 à 14:07

Bonjour,

le bouton c'est pour écrire tous les symboles mathématiques et pas seulement qui veut dire "produit" !! et pas du  tout le nombre pi
encore faut il donc choisir le bon symbole dans la liste !
le nombre pi s'écrit (dans la liste des lettres grecques à gauche dans la barre de symboles)

l'inconvénient à connaitre de ces symboles de l'ile est qu'ils disparaissent quand on les copie-colle à partir d'un message précédent
et il faut les refaire, ou copier-coller à partir du source d'un message et pas du message lui-même ...
de même tous les formatages de texte (mises en exposant , en indices etc)

on peut aussi utiliser le caractère π depuis une table de symboles standard du système (caractères qui sont eux copier-collable),
ou écrire en LaTeX (éditeur LaTeX =le bouton LTX avec les points rouges)
écrire les formules entières en LaTeX et pas par petit bouts :

x=a+2k\pi    ou    x = \pi-a+2k\pi

ceci dit, je laisse les intervenants qui ont commencé à te répondre poursuivre sur le fond (mon message n'était que sur la forme)

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 15-07-19 à 12:06

aye je suis désolé je n'avais pas vu que était dans la liste des symboles, merci des conseils techniques
bon je poursui sur le fond, si j'ai bien compris pour le 1 b on obtient ceci :
B-) on sait que la fonction sinus est croissante dans l'intervalle [0 ;pie/2], donc on en déduit que la fonction f est également croissante dans cet intervalle.
x             0                                             Pi/2
Sin x      0           croissante              1                                                                                    
X+ sin x    0+x     croissante           1+x                                                                              

En effet une fonction f aura les mêmes variations qu'une fonction f + k, avec k E R, seul les minimums et maximums atteints seront différents.
Donc f(x) est croissante sur l'intervalle [0 ;pie/2]

je crois avoir compris le truc merci de votre aide, sans sa j'y serais encore a fin aout   

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 15-07-19 à 16:37

et pour finir la rectification du 3 b
b-)   f(x)<x =y<x graphiquement ce sont donc les valeurs de C situées sous la droite d'équation y=x qui sont les solutions à l'inéquation f(x)<x, dans l'intervalle [-2pie ;2pie]
on peut voir graphiquement que ces valeurs sont contenues dans l'intervalle [-pie ;0] et dans l'intervalle [pie ;2pie]
les solutions de l'inéquation f(x)<x sont S= {[-pie ;0] U [pie ;2pie]}


encore merci de votre aide précieuse

Posté par
larrech
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 15-07-19 à 17:56

Décidément, tu y tiens à ton pie !!

Posté par
Sylvieg
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 15-07-19 à 18:24

Bonjour,
Attention pour la démonstration de  f  croissante,  x  n'est pas une constante.
  sin(x) + x   n'est pas de la forme   sin(x) + k .

Comme demandé, utiliser 2 fois la définition de croissante sur [0;𝜋/2].

On sait que la fonction sinus est croissante sur [0;𝜋/2] ; par définition :
Si  0 a < b /2   alors   sin(a) < sin(b) .
En ajoutant membre à membre les 2 inégalités   sin(a) < sin(b)   et   a < b  , on obtient
sin(a) + a  <  sin(b) + b .
On a ainsi démontré ceci :
Si  0 a < b /2   alors  f(a) < f(b) .
C'est la définition de  f  croissante sur  [0;𝜋/2] .

Posté par
jackobin
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 16-07-19 à 11:24

oh !! le c**
merci de me signaler cette grossière erreur !
et de m'expliquer la suite, je dois avouer que je ne comprenais pas mais maintenant tout devient clair et net grâce a toi merci

Posté par
Sylvieg
re : problème mathématique sur le cercle trigonométrique 16-07-19 à 19:06

De rien, et à une autre fois sur l'île  

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1379 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !