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problème nilpotent, bijection, ker(u), im(u)
Bonjour à tous,
Je dois résoudre l'exercice suivant:
a/Un endomorphisme u d'un espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe n
tel que un=0.
Montrer que si u est nilpotent i-u est bijectif (i est l'identité de l'espace).
b/Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n. Montrer l'équivalence:
Ker(u)=Im(u)<=>u²=0,n est pair, rg(u)=n/2.
Pour la question a/ j'ai essayé de montrer que i-u est bijectif en tentant de montrer que i-u est à la fois injectif et surjectif.
i-u injectif<=>Ker(i-u)={0}<=>(i-u)(x)=0 pour x=0 seulement (c'est bien ça ??)
i-u surjectif<=>Im(i-u)=E (l'espace vectoriel)<=> (i-u)(y)=x pour x E.
(i-u)(x)=0<=>x-u(x)=0<=>x=u(x)<=>xn=u(x)n<=>xn=0<=>x=0.
Donc (i-u) est injectif.
(i-u)(y)=x et on sait que (i-u)(x)=0
Donc (i-u)(i-u)(y)=0<=>(i-u)(y-u(y))=0<=>y-2u(y)+u²(y)=0
Mais après je ne sais pas trop quoi faire..
pour la question b/:
A partir de ça: y-2u(y)+u²(y)=0
Si je pose n=2, u²(y)=0.
Donc y=2u(y)<=>u(y)=y/2 et ca ressemble fortement à rg(u)=n/2 mais bon c'est pas vraiment ça.
Sinon j'ai essayé de partir de Ker(u)=Im(u)
<=>u(x)=0 et u(y)=x
<=>u(u(y))=0
<=>u²(y)=0
Mais je ne sais pas montrer les autres équivalences.
J'espère que vous pourrez m'aider un peu, merci d'avance.
Bonjour,
Pour montrer que Id-u est bijectif, sachant que , on a Id -
=Id.
Or Id=(Id-u)(...)
Je te laisse continuer 
Merci, mais je ne vois pas vraiment où cela mène.
A partir de ce que vous m'avez dit, j'ai fait:
i-un=
(i-u)(un-1)-un-1+i.
Mais bon je ne pense pas que cela sert à grand chose.
Pouvez vous m'éclaircir un peu plus svp ?
on sait que un=0 Donc u+u²+...+un-1=0 ??
donc in-un=i-u
Ou bien u+u²+..+un-1=(un-1)/u (ce n'est pas la définition d'une suite géométrique mais comme il n'y a pas de premier terme valant 1.. je ne sais pas si je peux faire ça)
je ne vois vraiment pas et je ne comprends pas comment en passant par là on peut montrer que c'est une bijection.
Je suis dsl 
ah si le premier terme c'est id.
Donc i+u+...+upuissance(n-1)=(i-upuiss(n-1))/(i-u)
donc ipuiss(n)-upuiss(n)=i-upuiss(n-1)
??
Bonjour
Dans le dernier post de Rouliane (que je salue) on voit la réciproque de Id-u, qui est donc bijective.
Par ailleurs, attention!
u+u²+..+un-1=(un-1)/u
en aucun cas tu n'as le droit de diviser par u!
Bonjour Camélia,
je ne vois pas la réciproque de Id-u..je vous crois, elle doit sûrement être là mais je comprends pas trop, c'est pour ça que je ne la vois pas je pense..
Voilà
(Id-u)-1=Id+u+...+un-1
puisque en composant cette application avec Id-u (des deux côtés on trouve Id-un=Id.
Merci beaucoup j'ai compris, je n'avais pas l'habitude de montrer une bijection de cette facon.
J'ai rédigé comme cela:
On sait que un=0
Donc i-un=i
i-un=(i-u)(i+u+u²+..+un-1)=i
Donc (i-u)(i+u+u²+..+un-1)=i
Alors (i-u)-1=(i+u+u²+..+un-1)
Car (i-u)(i-u)-1=i
Donc (i-u) est bien une application bijective.
C'est bien rédigé ?
merci hatimy, et par rapport à ce que j'ai fait à la question b/ vous pouvez regarder un peu si ça ne vous dérange pas trop..
Merci d'avance
euh par rapport à ce que vous me dites de rajouter, je dois pas plutôtdire i-u admet une réciproque, donc i-u bijective. Car c'était ce que je devais montrer. Non ?
Bonsoir un1,
Non je n'arrive pas à faire la question b/, j'ai essayé quelque chose: ce que j'ai écrit dans le tout premier message, mais je ne sais pas quoi faire de plus..
montrons d'abord ce sens
=>
E de dimension finie , d'après le théorème du rang dimImu+dimKeru=dimE
comme Imu = keru on a donc 2dimImu=n doù rangu=n/2 et bien sûr si n est pair sinon pas de sens
montrons que u^2=0
soit x ds E
u(x)=y y appartient à Imu=keru par hypothèses
donc u(u(x))=u(y)=0 d'où le résultat
réciproquement
si u^2=0 et ....
montrons que Imu = keru
soit x appartenant à Imu , il existe y de E tel que u(y)=x
par hyp u^2=0 donc u(x)=u(u(y))=0 ie x appartient à ker u
on veut l'égalité utilisons la deuxième hypotèse n pair et rangu=n/2
d'après le théorème du rang dim keru=n-n/2=n/2
donc dim keru=dim Imu et imU inclus ds keru d'où l'égalité
voilà
Je ne comprends pas à partir de là:
on veut l'égalité utilisons la deuxième hypotèse n pair et rangu=n/2
d'après le théorème du rang dim keru=n-n/2=n/2
donc dim keru=dim Imu et imU inclus ds keru d'où l'égalité
navrée en fait pour faire vite je n'écris pas tout...
on a montré une inclusion
on veut montrer l'autre inclusion il suffit de montrer que les espaces ont même dimension
J'ai compris merci je vais essayé de le refaire toute seule merci encore.
Et juste un petit truc, qui n'a rien avoir si u²=i pour montrer que u est bijectif il suffit de dire: u*u=i donc u admet une application réciproque telle que upuiss(-1)=u donc u bijectif non ??
je pense que ça suffit trouver un inversev qui vérifie uv=vu=id signifie que u est bij donc pour moi oui
tu ne m'as guère embêtée
bonne soirée
ps j'ai dit trouver un inverse mais c'est plutôt une application
"réciproquement
si u^2=0 et ....
montrons que Imu = keru
soit x appartenant à Imu , il existe y de E tel que u(y)=x
par hyp u^2=0 donc u(x)=u(u(y))=0 ie x appartient à ker u
on veut l'égalité utilisons la deuxième hypotèse n pair et rangu=n/2
d'après le théorème du rang dim keru=n-n/2=n/2"
donc dim keru=dim Imu et imU inclus ds keru d'où l'égalité
J'ai essayé de le refaire seule, et je ne comprends pas pourquoi le fait de dire que dim(imu)=dim(keru) en utilisant le théorème du rang ne suffit pas pour montrer que imu=keru.. Je ne comprends pas pourquoi vous écrivez: "soit x appartenant à Imu , il existe y de E tel que u(y)=x
par hyp u^2=0 donc u(x)=u(u(y))=0 ie x appartient à ker u"
1) par exemple ds le plan si je prends 2 droites distinctes elles ont mêmes dimensions mais ne sont pas égales
l'égalité des dim n'est pas suffisante!
2) que ne comprends tu pas exactement?? je vx montrer que imu est inclus ds keru
je prends x ds imu et je montre qu'il est dans ker u
Euh excusez moi du dernier message, en fait je n'ai pas fait attention que c'était vous qui avez écrit "mêmes dimensions" je pensais que c'était moi, et donc je pensais que vous me faisiez remarquer mon erreur d'orthographe.. donc je voulais un peu me venger, gentillement.
Sinon, oui c'est vrai, je n'avais pas penser à ce contre-exemple, j'ai compris en fait. Merci
Pourquoi le fait que dim(im(u))=dim(ker(u)) montre l'autre sens de l'inclusion c'est-à-dire ker(u)CIm(u), pourquoi ce ne serait pas dans l'autre sens ?
F et dimE=dimF alors E=F
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