Niveau troisième

probleme nombre d or

Posté par sebasrtien (invité) 27-12-04 à 00:19

bonjour,

j'ai un exercice que je ne comprends pas du tout, je ne sais meme pas par ou commence...c'est du chinois
si quelqu'un peut m'aider a demarrer... )

calcul du nombre

les anciens ont cherche s'il existait des nombres tels que a/b = a+b/a
1/ posons x = a/b et montrons que l'equation a/b= a+b/a peut s'ecrire x au carre = x+1
2/ montrons que cette equation x au carre =x+1 admet pour solution 1+ racine de 5 / 2
donner une valeur arrondie de cette solution a 0,01 pres
le nombre 1 + racine de 5 /2 est appele nmombre d'or

merci a tous

Posté par Emma (invité)re : probleme nombre d or 27-12-04 à 00:27

Salut sebastien

On a posé $x\;=\;\frac{a}{b}$
Donc le premier membre de l'équation ' $\frac{a}{b}\;=\;a\;+\;\frac{b}{a}$ est égale à x...
Pour le second membre, il suffit de remarquer que $\frac{b}{a}\;=\;\cdots$ (à toi de me dire... il faut l'exprimer en fonction de x )

Posté par Emma (invité)re : probleme nombre d or 27-12-04 à 00:39

Pour la question 2, on te demande de montrer que l'équation $x^2\;=\;x\;+\;1$ admet le nombre $\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}$ pour solution

Pour cela tu dois

--> calculer ce que vaut $x^2$ lorsque $x\;=\;\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}$ (développe au maximum ce que tu trouves)

--> calculer ce que vaut $\;x\;+\;1$ lorsque $x\;=\;\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}$ (même remarque)

--> croiser les doigts pour trouver le même résultat aux deux calculs
(si tu ne trouves pas pareil, c'est probablement que tu t'es trompé dans l'un des deux...
moi, je trouve $\;\frac{\sqrt{5}}{2}\;+\;\frac{3}{2}$ pour les deux)

Posté par Emma (invité)re : probleme nombre d or 27-12-04 à 00:43

Enfin, pour la valeur arondie de $\;\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}\;$ , il te suffit d'utiliser ta calculatrice
(attention aux calculs prioritaires et aux parenthèses sous-entendues.... tu dois trouver $\large \;\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}\;$ $\;\;=\;\;1\;,\;\cdots\;$ )

@+
Emma

Posté par sebasrtien (invité)re probleme nomnre d or 27-12-04 à 01:13

bonjour emma,

alors merci pour ton aide mais j'ai encore du mal a comprendre.

pour le debut b/a = a/b-a ?? c'est ca?
non pour le 1er je ne comprends pas , je ne vois pas comment je peux avoir x au carre et d'ou vient le 1? au fait l'equation c a/b= a+b tous les 2 sur a

pour le 2 e il faut que je calcule d'un cote
x au carre = 1+racine de 5/2 et d'un autre
x +1 = 1+racine de 5/2 c ca?
ca je crois que j'ai compris

pour le 3e aussi
as tu d'autres moyens de m'expliquer le 1 er ou une autre piste que je pourrais comprendre car comme tu le vois j'ai vraiment du mal en maths

merci

Posté par Emma (invité)re : probleme nombre d or 27-12-04 à 09:52

Honte à moi... en tapant ma fraction, j'ai déformé l'équation de départ...
Bon, je reprends...
On part de $\frac{a}{b}\;=\;a\;+\;\frac{\;a\;+\;b}{a}$ (et pas $\frac{a}{b}\;=\;a\;+\;\frac{b}{a}$ comme je l'avais écrit)
Mais cela ne change pas les conseils que je t'avais donné.

En effet, cette équation s'écrit aussi : $\frac{a}{b}\;=\;1\;+\;\frac{b}{a}$

Et tu n'avais pas compris ce que je voulais te faire remarquer pour $\frac{b}{a}$ ...

Je reprends, donc :

On sait que $\frac{a}{b}\;=\;x$ .
Et d'autre part, $\frac{b}{a}$ est l'inverse de $\frac{a}{b}$ (et donc également l'inverse de x.
Donc, j'attendais tout simplement de toi que tu remarques que $\frac{b}{a}\;=\;\frac{1}{x}$ ...

Du coup, l'égalité $\frac{a}{b}\;=\;1\;+\;\frac{b}{a}$ s'écrit (avec des x et plus des 'a' et des 'b') de la façon suivante :
$x\;=\;1\;+\;\frac{1}{x}$

De là, je te laisse voir comment on peut se ramener à l'équation annoncée : $x^2\;=\;x\;+\;1$

@+

Emma

Posté par sebasrtien (invité)nombre d or 27-12-04 à 13:16

bonjour emma,

alors je crois avoir compris l'exercice je voulais juste que tu me confirmes.

1/ on a l'equation a/b= a+b/a
si x = a/b alors

a/b = a/a+ b/a
x = 1 +1/x
on multiplie chaque element par x
=
x au carre = x + 1

2/ si on admet comme solution x =1+ racine de 5/2

alors on a d'un cote:

x au carre = ( 1+ racine de 5/2) x (1 + racine de 5/2)
si on calcule ca fait
(1/2x racine de 5/2) + ( 1/2 x 1/2) + (racine de 5/2 x racine de 5/2) + ( racine de 5/2 X 1/2)
= racine de 5 /4 + 1/4 + 5/4 + racine de 5 /4
=6/4+ 2 x racine de 5 /4
= 3/2+ racine de 5/2

pour l'autre:
x+1
ca fait 1+ racine de 5/2 +1
= 1/2 +racine de 5/2 + 2/2
= 3/2+ racine de 5/2
on a le meme resultat

pour le 3/'
il faut d'abord calculer 1+ racine de 5 = 3,2360
et diviser par 2
= 1,6180

est ce que j'ai bien compris???

merci encore de ton aide merci

Posté par Emma (invité)re : probleme nombre d or 27-12-04 à 15:24

Salut sebastien

En effet, tu as tout à fait compris l'esprit de l'exercice

Simplement, à la question 2, lorsque tu trouves le même résultat pour les deux calculs... n'oublie pas de conclure (répondre à la question) : $\large%20\;\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}\;$ est donc solution de l'équation de départ...
Et pour la question 3, tu as fait le bon calcul... mais attention : c'est une valeur arrondie à 0,01 près qui est demandée...
--> donc déjà, dans ta réponse, il faut marquer ' ' et pas ' = ',
--> et ensuite, il faut doner un résultat avec deux chiffres après la virgule...
Pour choisir entre 1 , 6 1 et 1 , 6 2, on regarde le chiffre qui suit : c'est 8, qui est supérieur à 5, donc on arrondi à la valeur supérieure : 1 , 6 2

Finalement, $\large%20\;\frac{1\;+\;\sqrt{5}}{2}\;$ 1 , 6 2

Je confirme, donc : Beau boulot

@+
Emma

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