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Niveau terminale
Problème ouvert
Posté par leothis25
Bonjour, je n'arrive à résoudre ce problème, j'ai besoin d'aide.
On a placé un spot d'une intensité de 100 cd afin d'éclairer un chanteur situé sur la scène.
La zone d'éclairage sur la scène a une intensité, en cd/m^2, donnée par la formule E=(100cos(α))/SC^2
où SC distance à parcourir par la lumière en mètres et α=(⃗SA;⃗SC)
On sait que la position du chanteur sur la scène est déterminée par la valeur de AC=6 m. Déterminer à quelle hauteur on devra placer le spot pour avoir un éclairage d'intensité maximale.
Merci 😊
Bonjour,
à toi de faire une figure de principe (s'il n'y en a pas déja une avec l'énoncé) pour clarifier tout ça .
pour joindre une image (uniquement des figures, jamais de texte) lire la FAQ 
[lien]
OK,
donc maintenant pour résoudre ce problème d'optimisation il va falloir choisir une variable et calculer tout en fonction de cette variable.
que penses tu qu'il serait pertinent de choisir comme variable ?
oui, (vu que c'est ce qu'on demande) l'inconnue sera SA = x
il faut donc maintenant tout exprimer en fonction de x
SC et α (plus précisément cos(α))
et par conséquent l'éclairement E(x) = (100cos(α))/SC^2
Ok, j'ai essayé de trouver un maximum j'ai donc:
Soit SA=x
SC= 36+x^2
x=racine(6-SC)
E=100cos(
)/(36+x)
= 100cos()/(42-SC)
=AC/SA=6/x
Soit SA=x
SC^2= 36+x^2
x=racine(6-SC) ne sert à rien
ce n'est pas x qu'on veut exprimer en fonction de SC, mais SC en fonction de x
de plus c'est faux n'est pas égal à
ni encore moins à
!!!!
SC (et même SC^2 vu que c'est ça qui intervient dans la formule) on l'a déja en fonction de x
c'est SC² = 36+x² et c'est tout
si on en a besoin et c'est tout (ne peut pas se simplifier !!!)
E=100cos()/(36+x^2) faut pas laisser tomber des carrés en route
= 100cos()/(42-SC) faux et ne rime à rien
=AC/SA=6/x faux. ne pas confondre α et cos(α ) ou tan(α )
On a donc: 100cos/36+x^2
non
d'abord "on n'a" pas un truc craché au milieu de la feuille mais
E(x) = ...
et ensuite ton écriture est fausse :
c'est E(x) =100cos(α) /(36+x^2)
parenthèses absolument indispensables.
et ensuite ? bein il faut exprimer cos(α) en fonction de x pardi
cos(α) = ???/??? (trigo) = ???/??? (en fonction de x)
mais le faire correctement !
Avec x=AC h=AS et d=SC
E/100=(cos)/d^2=((1-cos^2)(cos))/x^2
Soit =X
On a X-X^3 on dérive on a 1-3X^3
Ce que est maximal quand c'est égal à 0 ainsi E/100 est maximal pour cos()=X=Racine3/3
On a sin = racine6/3 et tan=racine2
h=x/tan=4,24
Voilà
attention à la rigueur dans la rédaction !!
Avec x=AC h=AS et d=SC
appeler x (comme "inconnue" ) AC qui est fixé et égal à 6m n'est vraiment pas top comme notation !!
E/100=(cos)/d^2 = ((1-cos^2)(cos))/x^2 OK
Soit =X aucun intérêt de changer juste de nom
On a X-X^3 faux "on a" (hum) ((1-cos^2X)(cos(X))/36
correct aurait été de poser X = cos( et alors oui E/100 = (X-X^3)/36
on dérive on a 1-3X^3 faux : 1-3X^2
la suite OK.
(paille poutre : frappe une peu rapide avec quelques parenthèses qui ont sauté)
il faut aussi justifier que α est entre 0 et pi/2 et donc que la fonction cosinus étant décroissante (donc monotone) dans cet intervalle le tableau de variations en fonction de X est le même (à part les valeurs et à une symétrie près) que celui, le vrai, que l'on cherche, en fonction de α