Bonjour,

Les triangles semblables ne sont plus au programme en France dans aucune classe ! Alors soit

1) tu es en France et je ne vois pas comment t'aider !

2) tu n'es pas en France , alors il faut que tu regardes ton cours sur les triangles semblables : comment démontrer que des triangles sont semblables et quelles relations peut-on obtenir entre les mesures de certains segments !  

Bonjour,

le vocabulaire "triangle semblables" est certes interdit en France mais on les retrouve car il sont réellement incontournables via des artifices :

les réductions et agrandissements
et pour le cas des triangles rectangles comme ici par la trigo

si par exemple les deux triangles rectangles EDB et HFG ont les angles BED = GHF
dans EDB on a par exemple : cos(BED) = ED/EB
et dans HFG : cos(GHF) = HF/HG
comme ces angles sont égaux, leurs cosinus aussi et ED/EB = HF/HG
que l'on peut aussi écrire ED/HF = EB/HG
etc et donc on peut ensuite affirmer que le triangle HFG est ainsi une réduction (en proscrivant le mot semblable) du triangle HFG

ce genre d'acrobatie est hélas imposé par les programmes scolaires et malheureusement indispensable dans bon nombre d'exos...

ce qu'il faut remarquer ici est que les deux parties de la figure sont alors des réductions / agrandissements l'une de l'autre :





et donc que tous les éléments de l'une sont des réductions dans le même rapport des éléments correspondants de l'autre.
que le cercle de rayon r2 est une réduction du cercle de rayon r1 dans ce même rapport que les cotés des triangles

r2/r1 = AG/AB

etc (détails filandreux pour exprimer AG/AB en fonction de BC/AC par exemple, sans jamais parler de triangles semblables, mais via des fonctions trigo)

Je vis en France, c'est juste que notre prof donne des sujets qui n'ont rien à voir avec notre cours. Merci davoir répondue mais je n'ai vraiment rien compris à l'explication  !

bein c'est bien dommage ...
(si votre prof donne des sujets pour surdoués)

la seule façon en France et en lycée de faire cet exo est d'avoir un guide pas à pas puisque le but de l'enseignement est de vous transformer tous en robots :
tu fais ceci
tu fais cela
tu en déduis que
etc etc
(deux pages de questions intermédiaires pour cet exo)
et donc l'incapacité totale à résoudre un exo en l'absence d'une telle liste de questions explicites.
Avec en plus la suppression programmée et progressive de toute la géométrie en la remplaçant par des calculs qui seraient mieux fait par de simples logiciels de calcul formel. (quand je dis qu'il s'agit de vous transformer en robots ...)


la 1ère question intermédiaire est :
démontrer que tous les angles "qui semblent être égaux" sur la figure le sont vraiment ..
(comme dit ailleurs où le même exo est proposé, soit toi sous un autre pseudo, soit un condisciple à toi)
droites parallèles et angles associés (correspondants et alternes internes)
angles complémentaires, triangles rectangles et droites perpendiculaires etc ...

Bonsoir, es-ce que vous pourriez m'expliquer étape par étape svp ?

comme je l'ai dit la 1ère étape consiste à justifier pourquoi tous les angles qui semblent égaux sont réellement égaux :


les angles en A et en G sont égaux comme angles correspondants dans la sécante AC et les deux parallèles AB et GE etc
les angles en G et en E sont égaux car ils ont le même complémentaire en CEG
etc...

ensuite comme j'ai dit on bidouille avec les rapports trigonométriques pour montrer que les rapports de côtés sont égaux (relire le post précédent), donc que les triangles sont semblables, vocabulaire honni mais que je vais conserver pour des raisons de simplicité du vocabulaire

que tous les triangles rectangles de la figure sont ainsi tous semblables (sont des réductions agrandissement les uns des autres dans divers rapports)

enfin on peut faire au plus court en considérant les figures semblables et pas seulement les triangles élémentaires semblables
ce qui prouve ce que j'ai dit précédemment sur le rapport r2/r1 = un certain k qui est le rapport de réduction
du triangle AMG par rapport à ACB

et en faisant pareil avec le triangle ALJ qui est ainsi une réduction de AMG
et quelques instants de réflexion permettent de se convaincre que c'est dans le même rapport k
et donc r3/r2 = k = r2/r1

le produit en croix donne alors le résultat final demandé et c'est fini.

on peut ajouter autant de chair autour de ça qu'on veut pour préciser l'intime conviction, c'est à dire calculer explicitement la valeur de k en fonction de la "forme" du triangle ABC de départ
(comme je le suggérais déja précédemment : "détails filandreux pour exprimer AG/AB en fonction de BC/AC par exemple")
et en faisant pareil pour ALJ par rapport à AMG et ainsi prouver de façon calculatoire que les deux coefficients k ont la même valeur.

resterait pour achever tous les détails calculatoires nécessaires aux St Thomas à obtenir le rayon du cercle inscrit en fonction des côtés d'un triangle rectangle "en général" et ainsi justifier formellement que le rapport des rayons est égal au rapport des côtés

tous ces calculs et détails (filandreux) sont réellement inutiles si on comprend réellement ce que veut dire la réduction / agrandissement d'une figure : le résumé ci dessus suffit sans expliciter les calculs.
mais ils pourraient être exigés par le prof, va savoir...