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Niveau Maths sup
Problème suite d'entiers
Posté par Bast1523
Bonjour, je rentre en prépa l'année prochaine et je fais pendant ces vacances les travaux de maths que ma prépa m'a envoyé. Mais je suis bloqué sur un des exercices et je n'ai absolument aucune idée de comment le résoudre, voila l'énoncé :
On fixe un entier naturel impair a. On considère une suite d'entiers naturels non nuls (Un)n∈N vérifiant, pour tout n∈N:
Un+1 = Un/2 si Un est pair
Un+1 = Un + a si Un est impair.
1) Démontrer que la suite (un)n∈N prend au moins une valeur⩽a.
(2) Démontrer qu'elle prend une infinité de fois des valeurs⩽a.
(3) En déduire qu'elle est périodique à partir d'un certain rang.
Cela me fait penser à la conjecture de syracuse même si ce n'est pas totalement pareil mais je ne trouve pas grand chose sur internet pour m'aider.
Vous auriez une idée de comment je peux aborder au moins la question 1?
Merci d'avance 
Bonsoir,
je ne crois pas que tu puisses démontrer ce résultat.
Pour a=3 il est équivalent à la conjecture de Syracuse.
Et, à ma connaissance, elle n'a pas encore été démontrée.
Hello ! On part de U0 = x
Soit Up le minimum de la suite. Supposons Up>a
On a forcement Up impair. Donc Up+1 est pair.
Et donc Up+2 = (Up+a)/2 et tu peux montrer que Up+2 < Up.
Ca ressemble un peu à la conjecture de Syracuse, mais en 1000000 fois plus simple.
Même pour a=3, ce n'est pas la conjecture de Syracuse.
Syracuse : Un+1= aUn+1 si Un impair ;
Ici : Un+1= Un+a si Un impair
Les étapes 'montantes' montent vite dans la conjecture de Syracuse, et montent lentement dans cet exercice.
Le parallèle avec la conjecture de Syracuse est forcément une impasse. Pour rappel, il a été dit à une époque que l'URSS aurait fait du buzz autour de la conjecture de Syracuse, pour que les matheux de l'ouest s'entichent de cette conjecture, et passent leur vie à chercher cette conjecture. Et ainsi, l'URSS aurait dépassé l'ouest sur le plan scientifique. C'était une facette de la guerre froide.
C'est probablement faux, mais ça décrit tellement bien à quel point cette conjecture est une source de problèmes.
Lionel52 a donné le bon indice.
Effectivement merci je crois que j'ai compris mais j'ai encore du mal avec ce genre de raisonnement.
Donc en partant de Up > a, on arrive à Up>Up+2 ce qyu est une contradiction avec le fait que Up est le minimum donc Up < a.
Pour la question 2 j'ai pensé à faire ça : Up < a donc Up + a < 2a et donc (Up + a)/2 < a ce qui correspond à Up+2 < a et on peut raisonner comme ça indéfiniment.
C'est juste comme raisonnement ?