salut
a)i) si U=(U(n)) admet une limite finie l, comme (U(n+1))est une suite extraite de U, elle converge vers l.
donc comme U(n+1)=(U(n)-3)/(U(n)+1)
on a l=(l-3)/(l+1)
ii) rsolvons ceci l=(l-3)/(l+1).
l-(l-3)/(l+1)=0
[l*(l+1)-(l-3)]/(l+1)=0

(l^2+3)/(l+1)=0
et (l^2+3)/(l+1)=0 <=> l^2+3=0
pas de solution.
donc U n'admet pas de limite finie.

b)i) si il existe no dans N tel que U(n0)=-1 alors U(n0)+1=0 et U(n0+1) n'est pas definie.ainsi que U(n0+2),... la suite U ne serait pas parfaitement definie.
un peu de logique
si il existe U(n0)=-1 <=> la suite n'est pas parfaitement definie.

on peut donc conclure ceci.
pour tout n dans N U(n) different de -1 <=> la suite est parfaitement definie.
ii)je pense que c'est V(n)=(U(n)-3)/(U(n)+3) et non U(n).par contre y'a pas de question, c'est normal ?

iii)pour que V existe, U(n) doit etre different de -3 et ce pour tout n.
si il existe n0 dans N tel que U(n0)=-3.
on calcule U(n0+1)=(-3+9)/(-3+2)=-3.
donc pour tout n>=n0 on a U(n)=-3.
reste a voir les termes avant n0.

resultat * pour plus tard :

on resouds -3=(x+9)/(x+1)
[x+9+3(x+1)]/(x+1)=0 <=>4x+12=0 <=> x=-3.

on revient a l'exo.
1 er cas n0=0. pas de probleme U est donc la suite constante tel que pour tout n U(n)=-3.
2 eme cas n0>0.
on cherche U(n0-1)

or U(n0)=-3 et U(n0)=(U(n0-1)+9)/(U(n0-1)+1)
d'apres le resultat * on peut conclure que U(n0-1)=-3.
conclusion si U(n0)=-3 alors le terme precedent, si il existe est egal à -3.

conclusion U est la suite constante egale à -3.
a+