Suite numérique homographe.

Soit u la suite définie par Uo appartient à R et Un+1= (Un-4)/ (Un+5). Pour n >= 0.

i) Que se passerait-il si pour un indice no, Uno était égal à -5 ? Déduisez une condition sur les termes de U pour que celle-ci soit toujours définie. Nous supposerons dorénavant que cette condition est remplie.
ii) Soit V définie pour tout n par Vn = 1/ (Un+2).
iii) Quelles valeurs ne doit pas prendre U pour que V existe ? Montrez que si U prend cette valeur alors U est en fait la suite constante égale à 2. Nous supposerons par la suite que ce n'est pas le cas.
iv) En étudiant Vn+1 - Vn, montrez que V est arithmétique. Précisez sa raison ainsi que son premier terme, et exprimez Vn en fonction de n et Uo.
v) A partir de ce qui précède, exprimez Un en fonction de n et Uo. Déduisez-en la limite de U.
vi) Nous avons vu que Un doit être différent de -5 pour tout n. Exprimez cette condition sur Uo et déduisez-en en suite W de valeurs interdites pour Uo.
vii) Faites une synthèse des cas possibles suivant le choix de Uo.