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Problème sur Intégrale 3

Posté par
pfff
27-06-20 à 19:38

Bonjour j'aimerais de l'aide pour terminer.

ÉNONCÉ

Soit (I_n)_{n \in N } la suite définie par :

I_n = \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{tan^nx}\, dx.

1. Démontrer que la suite (I_n) est positive et décroissante.

2-a) Pour tout entier naturel n, déterminer la dérivée de la fonction xtan^{n+1}x.

b) En déduire que :

. n *, I_n + I_n_+_2 = \frac{1}{n+1}    (1) ;

. n *, \frac{1}{2n+1} \leq I_n \leq \frac{1}{n+1} ;

. \lim_{n\to +\infty} I_n = 0

c) On pose n *, f(n) = I_n_+_4 - I_n

Utiliser (1) pour démontrer que :
n *, f(n) = \frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+1}

3-a) Calculer I_2

b) Démontrer que n *
f(2) + f(6) + f(10) + ..... +f(4n-2) = I_4_n_+_2 - I_2

c) En déduire que :
\lim_{n\to +\infty} ( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} -\frac{1}{7} + ..... -\frac{1}{4n-1} + \frac{1}{4n+1}) \frac{\pi }{4}

4.a) Calculer I_1

b) Démontrer que : n *
f(1) + f(5) + f(9) + ..... + f(4n-3) = I_4_n_+_1 - I_1

c) En déduire que :
\lim_{n\to +\infty} ( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4} + ..... +\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}) = ln2.

Ce que j'ai fait pour le moment

1.
x [ 0 ; \frac{\pi }{4} ] , tanx 0 tan^nx 0
                                               \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{tan^nx}\, dx 0  
                                               I_n 0

donc (I_n) est positive.


I_n_+_1 - I_n = \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{(tanx)^{n+1} - (tanx)}\: dx

                                      = \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{(tanx)^n[tanx - 1]}\: dx

x [0 ; \frac{\pi }{4}] , tanx 1 tanx - 1 0

alors I_n_+_1 - I_n 0 alors (I_n) est décroissante

2-a) je trouve f'(x) = (n+1)(1+tan^2x)tan^nx

2-b)

. I_n + I_n_+_2 = \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{tan^nx(1+tan²x)} \: dx

                             = [ \, \frac{1}{n+1} (tan)^{n+1}x]^\frac{\pi }{4}_0

je bloque pour la suite.

    I_n + I_n_+_2 = \frac{1}{n+1}

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 19:41

Citation :
je bloque pour la suite.

    I_n + I_n_+_2 = \frac{1}{n+1}


Oups désolé c'est plutôt comme ça :

            I_n + I_n_+_2 = \frac{1}{n+1}

je bloque pour la suite.

Posté par
carpediem
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:01

salut

1/ des implications suffisent ...

inutile de prendre l'intégrale tout de suite : compare simplement les intégrandes

des donc sont préférables à ces alors ...

2/a/ attention f désigne une autre fonction plus tard dans l'énoncé ...

2b/ si a et b sont positifs et si a + b < c alors a < c

même idée pour l'autre inégalité en n'oubliant pas que la suite est décroissante ...

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:08

Ah d'accord donc :

on a I_n + I_n_+_2 \leq \frac{1}{n+1} I_n \leq \frac{1}{n+1}

pour l'autre c'est a + b > c alors a > c ?

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:09

Citation :
1/ des implications suffisent ...

inutile de prendre l'intégrale tout de suite : compare simplement les intégrandes

des donc sont préférables à ces alors ...

2/a/ attention f désigne une autre fonction plus tard dans l'énoncé ...


D'accord,
merci

Posté par
carpediem
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:14

oui ...

pour la minoration pardon j'ai dit une bêtise ...

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:16

D'accord

Posté par
carpediem
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:19

ha mais non !! c'est bon en utilisant la décroissance ... enfin es-tu sûr de l'énoncé ?

si a + b = c et a < b alors 2b > c donc b > c/2 ...

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:24

la j'ai pas bien compris

Citation :
enfin es-tu sûr de l'énoncé ?

oui

Posté par
carpediem
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:33

ce que je montre c'est que I_n \ge \dfrac 1 {2(n + 1)}

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:37

Citation :
a + b = c et a < b alors 2b > c donc b > c/2


¨Pour simplifier les choses je prends a = I_n_+_2 et b =I_n

je dois montrer que a < b avant quoi que ce soit mais je vois pas comment faire

Posté par
carpediem
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 20:51

qu'as-tu montré auparavant ? la suite est décroissante ...

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 27-06-20 à 21:02

Mais on trouve avec 2n+2

Posté par
carpediem
re : Problème sur Intégrale 3 28-06-20 à 12:05

ben ça veut dire qu'il faut réfléchir un peu plus ... mais pour l'instant je ne vois pas ...

Posté par
lake
re : Problème sur Intégrale 3 29-06-20 à 12:03

Bonjour,

  Cet exercice est extrait du sujet de Bac C 1980 donné dans l'académie d'Orléans.

  En 2)b) il est écrit:

   Montrer que  \forall n\in\matbb{N}^*,\qquad \dfrac{1}{2{\red (}n+1{\red )}}\leq I_n\leq \dfrac{1}{n+1}

  La minoration par \dfrac{1}{2n+1} est correcte mais plus difficile à montrer.

Posté par
lake
re : Problème sur Intégrale 3 29-06-20 à 12:09

J'ai oublié le lien:  

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 30-06-20 à 06:08

merci lake

Posté par
pfff
re : Problème sur Intégrale 3 30-06-20 à 06:10

j'espère que vous m'aiderez à minorer avec 1/2n+1 car avec 1/2n+2 j'ai pu faire

Posté par
lake
re : Problème sur Intégrale 3 30-06-20 à 12:34

Par exemple, montrer que sur \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] :

   \tan\,x\geq x^2 par la méthode de ton choix (étude de fonction...)

donc que \tan^nx\geq x^{2n} pour tout n\in\mathbb{N}^*

puis en tirer les conséquences en intégrant sur \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]

Posté par
lake
re : Problème sur Intégrale 3 30-06-20 à 14:13

Désolé, ma solution est fausse.

Posté par
co11
re : Problème sur Intégrale 3 01-07-20 à 22:45

Il commence à se faire tard et je peux dire des bêtises., surtout que je suis là dessus depuis un bon moment et que que j'écris plein de trucs faux.
Tant pis, j'essaie, et corrigez s'il le faut .....

Je dis pour tout n partout (sans répéter) :
In + In+2 = 1/(n+1)
donc  : I2n + I2n+2 = 1/(2n+1)
Or I2n+2   0
Donc : I2n 1/(2n+1)
Alors, puisque la suite est décroissante :
In I2n 1/(2n+1)

Posté par
lake
re : Problème sur Intégrale 3 01-07-20 à 23:00

Bonsoir co11,

Je crois que tu as commis une erreur:

  

Citation :
donc  : I2n + I2n+2 = 1/(2n+1)
Or I2n+2   0
Donc : I2n {\red\leq} 1/(2n+1)

Posté par
lafol Moderateur
re : Problème sur Intégrale 3 01-07-20 à 23:15

Bonjour
à partir du moment où on a pour tout n I_{\red n} \leqslant \dfrac 1{{\red n}+1}
il aurait été fort étonnant d'avoir I_{\red 2 n} \geqslant \dfrac 1{{\red 2n}+1}

(ou alors la suite de l'exercice n'a plus guère d'intérêt car on connaît exactement I_{2n}

Posté par
co11
re : Problème sur Intégrale 3 02-07-20 à 09:19

Ah oui bien sûr !
Quand je pense que j'ai relu ce matin mon "oeuvre" et que je n'ai toujours pas repéré cette faute
Merci à vous.

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