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Problème sur la dérivation

Posté par
Starlinux
25-04-19 à 10:47

Bonjour, je suis bloquée sur le problème ci-dessous dès la première question.

Voici l'énoncé :

1. Soit f la fonction définie sur [0;10] par : f(x)=x²(100-x²).
a. Etudier le sens de variation de f.
b. Pour quelle valeur de x, f admet-elle un maximum ?

2. Un fabricant de chocolat veut faire fabriquer une nouvelle boîte de présentation pour Pâques. Elle aura la forme d'un prisme droit dont deux des faces sont deux rectangles de 20 cm de longueur sur 5 cm de largeur.
Une section de ce prisme par un plan perpendiculaire à la face BCDE est le triangle isocèle ABC. La longueur BC=x représente l'écartement des deux rectangles.
Le but de ce problème est de déterminer x tel que le volume de cette boîte soit le plus grand possible.
a. Quelles sont les valeurs possible pour x ?
b. Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de x.
c. Exprimer le volume V du prisme en fonction de x.

3.a. Vérifier que V(x) = 5f(x).
b. En utilisant les variations de f, déterminer les variations de la fonction V sur [0;10].
c. En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et la valeur de ce volume maximal.

Où j'en suis :

J'ai déjà un peu commencé :
1. f(x)=x2(100-x2) f=uv      f'=u'v+uv'
u=x²                   u'=2x
v=100-x²        v'=-2x

f'(x)=2x(100-x²)+x²(-2x)
f'(x)=200x-2x3-2x3
f'(x)=200x-4x3
Après factorisation : f'(x)=4x(50-x²)

=b²-4ac
=216

x19,35      x2-5,35

Au tableau de signe et de variation c'est là où je ne suis pas sûr de ce que je fais.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 10:52

f'(x)=4x(50-x²) c'est bon, mais après ton b²-4ac alors que tu n'es pas devant une équation du second degré, c'est n'importe quoi.

Si tu veux savoir quand f'(x) = 0 annule simplement chaque facteur.

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:02

Ce que je cherche enfaite c'est les racines mais du coup dans ce cas de figure, quel est la technique ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:05

tu annules chaque facteur donc x= 0 ou 50-x² = 0 que tu peux factoriser comme un a²-b² (avec a = 50)

ensuite si tu veux le signe de f'(x) il faut faire un tableau de signes avec chaque facteur (et on gagne du temps si on se rappelle qu'un polynôme du second degré comme 50-x² est du signe de son terme de plus haut degré à l'extérieur de ses racines).

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:17

Donc ça donnes :

50-x²=0
-x²=-50
x²=50
x=50
x=2
x=52

x1=-52        -7,07
x2=52          7,07

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:18

Dans mon tableau de signes, le premier facteur est donc 4x puis le second est 50-x² ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:21

oui OK donc tu as les valeurs qui annulent la dérivée (garde les valeurs exactes comme 52) ce sont les valeurs que tu dois mettre dans la ligne des x du tableau de signes.

Et maintenant tu dois faire ton tableau de signes.

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:42

x                 |-                   -52                     0                52                   +
4x              |             -                 |             -            |          +          |              +
50-x²       |             -                |             +            |           +         |              -
f'(x)          |             +                |              -           |           +          |              -

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:42

Est-il bon ?

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 11:56

oui, le signe est OK, mais tu n'oublieras pas de mettre les 0 à ta dernière ligne

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 12:02

Oui c'est vrai ! Pour la b, f admet un maximum en -52 et 52 ?

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 12:07

oui et non
je n'avais pas vu
tu ne dois garder de ton tableau que les valeurs de x entre 0 et 10 (parce que des dimensions négatives, ça va pas le faire !! )
donc un seul maxi, OK ?

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 12:13

Ok je comprends donc le tableau est légèrement faux, au lieu de mettre les infinies, il faut que je mette 0 et 10

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 12:18

tout à fait

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 19:51

Pour le a du 2, je n'arrive pas comprendre la question...

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur la dérivation 25-04-19 à 20:50

BC=x
vu le contexte de ton exo, quelles sont les contraintes pour la longueur BC ?

Posté par
Starlinux
re : Problème sur la dérivation 26-04-19 à 11:29

BC doit être plus grand que 5cm. C'est ça ?

Posté par
Elrey
re : Problème sur la dérivation 03-05-19 à 19:39

Bonsoir ce serai pour savoir si tu pourrais écrire aux propre la réponse du première exercice car je ne lai pas compris et j'aimerai bien le comprendre mais j'ai compris le 2 merci d'avance 😅😅



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