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Niveau Maths sup
Problème sur les complexes
Posté par Antoine2212 (invité)
Bonjour à tous 
J'ai un petit problème a résoudre pour lundi mais malheureusement tout les débuts de piste que je croyais avoir n'en étaient en fait pas donc on peut dire que je tourne en rond devant ce problème...
Le voici :
Soient a,b et c trois nombres complexes éléments de l'ensemble U de somme égale à 1, démontrer que l'un d'eux vaut 1.
Sur ce je vous souhaite à tous un bon week-end 
Posté par Antoine2212 (invité)re : Problème sur les complexes
ici l'ensemble U est l'ensemble des nombres complexes de module 1 Son symbole n'est pas proposé dans ceux que l'on peut insérer c'est pour ça que j'ai mis un U "normal"
Voila ce que je te propose comme solution je note tes 3 complexes de module 1, on suppose
Un calcul simple donne
Ceci donne ou
en identifiant les parties imaginaires.
Donc il y a deux possibilités si c=0, c'est fini, sinon
ceci impose
et c'est fini
J'y arrive, mais c'est très long:
e ia + e ib + e ic = 1
on passe aux conjugués, on soustrait membre à membre et on obtient sin a + sin b + sin c = 0
La 2ème relation de Rodrigo donne en fait c = 
+ a + b
d'où sin a + sin b = sin (a + b)
avec la formule sinp + sin q,on obtient:
2 sin(a+b)/2 cos(a-b)/2 = sin (a+b) = 2 sin (a+b)/2 cos(a+b)/2
donc soit sin [(a+b)/2] = 0 , soit cos [(a-b)/2] = cos [(a+b)/2]
ce qui donne a= 0 ou b = 0
Sauf erreur.
J'arrive à la meme chose... sauf que pour sin(a)+sin(b)+sin(c)=0, il suffit d'identifier les parties imaginaires