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Problème sur les complexes
Bonjour à tous. Je bloque sur un exo sur les complexes.
On désigne par E l'ensemble des M d'affixe z tel que z^3 soit un réel positif ou nul.
1a. Le point A d'affixe a=e^(-i2
/3) appartient t'il à E ?
j'ai mis sous forme algébrique puis calculer z^3.
b. On note le point B d'affixe b=-1+iV3 (V=racine)
Calculer un argument de b et montrer que B appartient a E.
ici, j'ai calculer l'argument puis j'ai mis z au cube.
2. On suppose z différent de 0 et on note
un argument de z. Determiner une condition necéssaire et suffisante sur pour que z^3 soit un réel positif
Ici je bloque
3.Apres avoir vérifier que le point O appartient a E, déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demis droites que l'on determinera.
4.A tout point P d'affixe z différent de 0, on associe les point Q d'affixe iz et R d'affixe z^4.
On note F l'ensemble des P tels que l'angle (OQ,OR) ait pour mesure -pi/2.
Montrer que F est l'ensemble E privé du point O
Voila je suis bloqué sur les dernieres question. Tout aide est la bienvenue, merci beaucoup!
Question 2 :
Tu veux que ton z3 soit positif ou nul et réel.
l'argument de z3 doit être donc forcément égual à 2k avec k
donc tu doit avoir
donc
Q3:
O appartient à E , la demonstration est évidente.
La premiere demie droite est la droite des réels positifs :
un réel positif mis au cube donne un réel positif, et l'argument d'un réel est 0 soit 2k/3 avec k nul.
Ensuite, il y a la demie droite partant de zéro et avec tous les points d'argument 2pi/3 (k=1)
et ensuite la demie droite partant de 0 et formée par tous les points dargument 4pi/3 (k=2)
pour k=3 on retombe sur la demie droite des points d'arg 2pi, qui est la demie droite des réels positifs...donc pas la peine de la compter et de continuer.
Q4 :
pour P noté
on aura Q=
mais i=
donc Q=
et R=
L'angle (OQ,OR) c'est arg(R)-arg(Q) soit
Voila quelques indics
Il ya une mesquinerie.
Il faut poser pour conclure ne pas oublier le 2kpi sinon on ne peux pas trouver les lieu géométriques.
On retrouve bien E : il s'agit maintenant de prouver que 0 ne vérifie pas. Dans le cas ou P=0, tout est nul donc tous les arg sont nul et la relation demandée ne marche pas.
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