Bonjour Nicoco,

Le maximum de la fonction inverse sur l'intervalle [1;2[ est 1 atteint en 1. Or f'(1)=-1 différent de 0.
Donc c'est bien un contre-exemple car c'est une fonction dérivable sur un intervalle (ici ni ouvert, ni fermé) et qui admet un maximum local sans que sa dérivée s'annule.
En fait, il faut utiliser un intervalle ouvert pour ne pas que la fonction atteigne ses extremums aux bornes de l'intervalle.

N'hésite pas à demander des précisions...

Merci Victor !

Là, je comprends bien, mais quel est le problème si la fonction a un extremum en une borne de l'intervalle ?

C'est justement le fait qu'il n'y a plus aucune raison que la dérivée s'annule aux bornes.
En relisant la démonstration du théorème que tu as cité, tu vas voir que l'on a besoin de se placer dans un voisinage de a, ce qui n'est pas possible si a est aux bornes de l'intervalle...

Ah oui, ok !
En fait, l'annulation de la dérivée est une condition nécéssaire ?
Mais pour moi, "dans ma tete", un maximum de la fonction xx sur [1,2]est 2 ....
merci encore

Salut,


Si tu regardes la démo ça devrait sauter aux yeux : si f'(a) est non nulle alors f est strictement monotone sur un voisinage de a, ce qui exclut la possibilité d'un extremum local.

f(x) = x sur 0..1 est aussi un contre-ex simple de la nécessité d'être ouvert.

Merci Tutu !
J'ai bien capté maintenant

Juste une autre petite question :  pour la fonction xx sur [1,2], on parle quand même de maximum en 2 ou pas ?

Je dirais oui.

D'accord, donc en fait, tout le problème de ma question initiale (dans mon premier message), est lié au fait qu'on parle de maximumu LOCAL, c'est bien ça ?

Pour résumer, on peut parler d'extremum global sur un intervalle fermé ( exemple la fonction sur [1,2]) mais on ne peut parler d'extrermum local que sur un intervalle ouvert ?

J'espère que c'est bien ça ...

bonjour ,
je ne suis pas à l'aise dans ce genre d'histoire, mais j'ai réfléchi un peu.
voilà mes idées:
on peut parler d'extremum global sur l'intervalle de définition.
l'extremum local est utilisé pour un travail de voisinage (travail localement sur un "endroit").

maintenant, je ne sais pas si cela est correct, mais j'espère que cela t'aidera

Merci Muriel
Ca semble confirmer ce que j'avançais dans mon dernier message

Salut,
si tu as montré que c'était vrai sans utiliser le fait que ton ensemble était ouvert, c'est probablement qu'il y'a un souci quelque part dans ta démonstration...

Par exemple pour la fonction racine, 0 n'est pas un minimum local car la fonction n'est pas dérivable en ce point, en fait, elle n'est pas définie au voisinage de ce point, seulement à droite....
Pourtant c'est bien un minimum global....