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Niveau Maths sup
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Problème sur les polynômes de première année de licence de maths

Posté par Milouchkka (invité) 21-10-04 à 20:16

Bonsoir, je suis en première année de licence de mathématiques et j'ai eu un DM en maths renforcement c'est de l'algèbre. J ai déjà cherché beaucoup et j'ai trouvé quelques réponses mais pour que ce soit bien clair je vais recopier tout l'énoncé. Aidez moi s'il vous plait car je dois le rendre à la fin de la semaine et là je suis bloquée. Merci d'avance. Milie

PROBLEME

PARTIE 1
1) Trouver tous les polynômes à coefficients réels P tels que P(X+1)-P(X)=0.
2)Soit H [X] . Montrer que l'équation P(X+1)-P(X)=H(X) dont l'inconnue est le polynôme P a au moins une solution. Montrer que si P et Q sont deux polynômes à coefficient réels tels que P(X+1)-P(X)=H(X) et Q(X+1)-Q(X)=H(X), alors P-Q est un polynôme constant.
3)Pour chaque entier naturel non nul n, montrer qu'il existe un unique Pn [X] tel que Pn (X+1) - Pn(X)=(1+X)n et Pn(1)=1.
Quel est le degré de Pn? Calculer Pn(0).
4)Montrer que pour chaque n 2, il existe un nombre réel an tel que P'n=nPn-1+an. Calculer et factoriser Pn pour 1 n 4 (on pourra remarquer, pour la factorisation, que P4(-1/2)=0).

PARTIE 2
Si n et k 1 sont des nombres entiers naturels, on note S(n,k)= pn pour p allant de 1 à k.
1) Montrer que pour tous n et k, on a S(n,k+1)-S(n,k)=(k+1)n; en déduire que S(n,k)=Pn(k) pour tous n et k.
2) Calculer S(n,k) pour n=1,2,3,4.

Posté par minotaure (invité)re : Problème sur les polynômes de première année de licence de 21-10-04 à 21:00

salut
soit un polynome P.P(0)=k. k dans R.
on note Q(X)=P(X)-k. donc Q(0)=0.

Q(X+1)-Q(X)=P(X+1)-k-(P(X)-k)=P(X+1)-P(X)=0.
Q(0)=0.
donc d'apres la propriete Q(X+1)-Q(X)=0 on a Q(1)=Q(2)=...=0.
donc Q est un polynome ayant une infinite de racines.
c'est donc le polynome nul.
k ayant ete pris de facon arbitraire, les solutions sont les polynomes de la forme P(X)=k, k dans R.

Posté par tutu (invité)re : Problème sur les polynômes de première année de licence de 22-10-04 à 12:22

Salut,

2- Le plus simple c'est peut-être d'utiliser les polynomes interpolateur de Lagrange.

On prend a(0) = 0 et a(n) = H(n-1) + a(n-1).
On prend P(X) qui prend les valeurs a(n) en d°H+2 valeurs. P(X+1)-P(X) et H(X) ont même d° et coincident sur d° + 1 valeurs, ils sont donc égaux.

Les autres questions sont pas dures pour un niveau licence. Tu bloques sur quoi ?


A+

Posté par minotaure (invité)re : Problème sur les polynômes de première année de licence de 22-10-04 à 13:15

elle dit qu'elle est en premiere annee de licence.
Etant donné que depuis septembre 2004, le systeme de la faculte a ete reforme (ce n'est plus un systeme deug-maitrise mais licence-doctorat (autrement dit 3-5 au lieu de 2-4), je pense qu'elle est est bac+1.

Posté par tutu (invité)re : Problème sur les polynômes de première année de licence de 22-10-04 à 17:18

>> bac+1

Je comprends mieux alors !

Posté par Milouchkka (invité)Merci de votre aide! 23-10-04 à 09:45

Merci beaucoup pour vos aides ! Je m attendais pas a ce que ce soit si rapide ! Ce site est vraiment bien ! et en effet je suis bien en bac +1 si vous voulez en premiere année de MIAS ds l ancien systeme !
Le probleme pour la question 2 est que je ne connais pas encore les polynomes interpolateur je ne pourrai donc pas utiliser ca! Ms c est tres gentil quand meme !
Pour la premiere question j ai tout compris merci beaucoup car j'avais du mal surtout à ce niveau la !
Pour les autres questions ne vous inquiètez pas elles sont déja faites.

Posté par coul (invité)information sur le site d ingénierie(BTP)(aidez-moi) 25-10-04 à 13:30

bonjour à tous!
excusez moi tous si je suis hors sujet vis à vis de l'objectif du site.
je fréquente l'Internet pendant 4ans et je suis très interessé par les sciences.
cependant, durant ces longues périodes de recherche;je n'ai jamais rencontré un site qui traite le domaine du BTP.
je vous demande très modestement de me venir en aide;en me  donnant le ou les noms des sites qui traitent le BTP.il s'agit du ou des  sites qui mettent en ligne des cours et des exercices.
merci et  je pense sincèrement que le webmaster comprendra ma préoccupation.

Posté par tutu (invité)re : Problème sur les polynômes de première année de licence de 25-10-04 à 13:54

Salut Coul,

Tente ta chance sur http://forums.futura-sciences.com/index.php?  



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