dans la partie C, la base est formée par la suite constante à 1 et les deux suites (Re(aⁿ))_n et (Im(aⁿ))_n

salut.
quelles questions arrivent tu a faire et sur quelles questions bloques tu ?

salut,
  
  Pour la partie A
   dans la première question, c'est la définition de la suite e^k qui me pose problème
   je suis coincé pour la troisième, la sixième et la septième question
  dans la cinquième qestion, je n'arrive pas à trouver la dimension de S


  Pour la partie B
  je suis coincé pour la troisième, quatrième, sixième et septième question

Et enfin je n'arrive pas à faire la partie C.



                           Au revoir, merci d'avance
                                    MATH

sakut
la premiere :
il faut voir une suite comme cela :
(1er terme,2eme terme,3 eme terme......jusqu'a l'infini)
par exemple la suite geometrique de raison 2 et de premier terme 1 :
(1,2,4,8,16,32,64,128,256....)
maintenant ta suite ek :
e0=(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0...........)
e1=(0,1,0,0,0,0,0,0,0,0...)
e2=(0,0,1,0,0,0,0,0,0,0...)


ek=(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0...
ou le 1 est en k+1 position

a partir de la il est facile de montrer que c'est une famille libre.

pour la troisieme.
il faut montrer que Vect(ek)=R(N)
un inclusion est evidente.
pour l'autre, je pense qu'elle n'est pas.
car si tu prends ma suite de tout a l'heure, la suite geometrique de premier terme 1 et de raison 2,
avec un nombre fini de (ek) tu ne peux pas la "decomposer".
donc je dirais non.

pour la 5 , S(0,p) est de dimension p, c'est le cardinal de la base (e0,...e(p-1))

6.une suite appartient a vect(ek) si elle est nulle a partir d'un certain rang.
c'est a dire soit u une suite de R(N) u appartient a vect(ek) si il existe p dans N tel que u appartien a S(0,p)

7.s=4*c-3*e0-2*e1-e2
pour moi, une base de S, serait (c,e0,e1,e2,e3,e4....)
et c ne peux s'ecrire a partir des ek que si on utilise une somme infinie donc c n'est pas dans Vect(ek))

B

pour la troisieme.
il faut montrer que (a,b) est une base donc une famille libre et generatrice.
libre je pense qu'il n'y a pas de probleme.
apres pour generatrice il faut montrer Vect(a,b)=F
pour une inclusion c'est evident Vect(a,b)inclus dans F.

l'autre :
soit f dans F.
on cherche u et v dans R tel que f=u*a+v*b
on prend u=f(0)
v=f(1).
soit g=u*a+v*b. g est dans F.
montrons que g=f c'est a dire pour tout n dans N,g(n)=f(n).
raisonnement par recurrence sur n.
g(0)=u=f(0)
g(1)=v=f(1)
ok pour n=0 et n=1.
soit n>=1 tel que g(n)=f(n) et g(n-1)=f(n-1)
g(n+1)=g(n)+g(n-1)=f(n)+f(n-1)=f(n+1).
donc c'est vrai au rang n+1.
donc g=f
donc f=u*a+v*b.

4.
soit q une suite geometrique de premier terme q0 et de raison q.
q(n)=q0*q^n
si q appartient a F
q(n+1)=q(n)+q(n-1)
donc q0=0 ou
q^(n+1)=q^n+q^(n-1)
c'est a dire q^2=q+1 ou q=0

donc condition necessaire et suffisante sur q :
q=0 ou q verifie q^2=q+1.
(je te laisse le demontrer proprement)

6.tes suites geometriques je les appelle (phi^n) et (phi'^n)

il faut montrer que u*(phi^n)+v*(phi'^n)=0 =>u=0 et v=0
pour n=0 on a u+v=0
pour n=1 on a u*phi+v*phi'=0
c'est un petit systeme a deux equations deux inconnues et la solution est u=v=0.

on a deja obtenu une base de F (a,b).
donc dimension de F = 2
or on a une famille libre dont les elements appartiennent a F (question 4) et dont le cardinal est 2. c'est donc une base de F.

7.la suite de fibonacci f appartient a F.
donc il esiste u,v dans R tel que f(n)=u*phi^n+v*phi'^n
reste a trouver u et v
la encore f(0)=...
f(1)=...

pour la limite on a une somme de deus suites.
l'une tend vers 0 car |phi'|<1 quant a l'autre c'est vers +infini donc la suite de Fibonacci tend vers +infini.

pour le rapport tu prends n dans N
tu fais f(n+1)/f(n) tu remplaces f(n+1) et f(n) par ce que tu as trouve en fonction de phi^n et phi'^n.
reste plus qu'a developper et bidouiller...
normalement le resultat doit etre phi...

Reste la C. on verra ca plus tard car :
1) il est tard et j'ai sommeil, suffit de voir l'heure de mon post.
2)essaye de comprendre ce que j'ai ecris.on verra apres la suite.Allons y pas a pas.surtout que la partie C m'a pl'air plus dure.
3)j'ai certainement du raconter des idioties.donc j'attends des questions ou des remarques.

voila.bonne nuit...

salut,
  

pour la question 2 partie A,pour moi, R^N est de dimension infinie. ESt-ce vrai?
Je ne comprends pas ta réponse pour la question 7 partieA
La réponse que tu as donné à la question 4 partieB et celle que j'avais rédigé pour la question 5. C'est donc pour trouver l'ensemble des suites géométriques appartenant à F que j'ai un probblème.
Pour la question 7 partieB,est-ce bien un système à deux équations et deux inconnues qu'il faut résoudre au départ.

                      bonne chance pour la partie C,
                   Au revoir et merci pour ton aide,
                            MATH

R(N) est bien de dimension infinie.
il suffit je pense de le demontrer par l'absurde :
si il etait de dimension finie, il aurait une base...

pour 7a)
"Donner la décomposition de la suite suivante (stationnaire à partir de n=4):s=(1;2;3;4;4;...). "
donc on va decomposer s en fonction de c et des ek
donc s=4*c-3*e0-2*e1-e2

puis on veut une base de S.
l'indication n'est pas la pour rien.
on va montrer que (c,ek,k dans N) est une base de S.
est elle libre ?
soit I une partie de N.
soit une famille d'elements de R {b union {ai,i dans I}} a support fini
tel que somme(i dans I}ai*ei+b*c=0
montrons que b est nul.raisonnement par l'absurde :
si b est non nul alors c=somme(i dans I)di*ei
ou di=-ai/b
la famille des ai est a support fini donc celle des di aussi.
soi i0=Max(i dans I tel que di non nul)
comme I est une partie de N et que la famille des di est a support fini le max est bien defini.
i0 est un entier naturel.
maintenant on regarde c(i0+1)=1
mais dans somme(i dans I)di*ei(i0+1)=0
donc contradiction.
donc b=0.
on avait somme(i dans I}ai*ei+b*c=0
donc somme(i dans I)ai*ei=0
et les ai sont donc nuls car les ei forment une famille libre.
donc la famille (c,ei i dans N) est libre.

reste a voir que Vect(c,ei i dans N) =S.
Vect(c,ei i dans N) est inclus dans S.
reste a voir l'autre inclusion.
soit s dans S.
il existe n0 tel que pour tout n>=n0 s(n)=s(n0).
donc s=s(n0)*c+somme(k=0..n0-1)[(s(k)-s(n0))*ek]
donc Vect(c,ei i dans N) =S.
donc c'est bien une base de S.

pour B
la question 4 te demande une condition necessaire est suffisante sur q.
c'est q=0 ou q^2=q+1
c'est une condition suffisante pour que q soit dans F.
si on prend q dans F on voit qu'il est necessaire d'avoir ces conditions sur q.

pour la question 5.il suffit de resoudre l'equation
et l'ensemble des suites geometriques dans F est la suite nulle,(phi^n) et (phi'^n).

pour la 7. il faut resoudre un systeme a 2 equations deux inconnues.
la suite de Fibonacci est dans F.
donc il existe u,v dans R tel que u*phi^n+v*phi'^n=f
f(0)=u+v=1
f(1)=u*phi+v*phi'=1

je te donne la reponse u=(5+racine(5))/10
et v=(5-racine(5))/10


cet exo est tres important car il permet de chercher des bases dans des espaces infinis.
or la plupart des gens ramenent ces cas de figures a ceux des espaces finis et considerent alors pour demontrer le fait qu'une famille est libre ou generatrice des sommes infinies.
ce qui est malheureusement faux.
pour les espaces vectoriels, il faut toujours considerer des sommes finies.

pour la C.
montrer que c'est un espace vectoriel, je te laisse faire.

il me manque un morceau de la partie C.
(le troisieme element de la famille a demontrer comme une base de L).

je peux faire l'indication en attendant :
soit q une suite geometrique complexe de raison q(complexe)
q(n+3)=3*q(n+2)-4*q(n+1)+2*q(n)
si q(0) different de 0 :
q^(n+3)=3*q^(n+2)-4*q^(n+1)+2*q^n
si q different de 0
q^3=3*q^2-4*q+2
donc q^3-3q^2+4*q-2=0
q=1 solution
algorithme d'horner :
     1    -3   4   -2
1
     1    -2   2    0
donc q^3-3q^2+4*q-2=(q-1)*(q^2-2*q+2)
q^2-2*q+2=0
disciminant 4-8=-4
solutions complexes :
q1=(2-2i)/2=1-i
q2=1+i

donc q=0 ou q=1 ou q=1-i ou q=1+i


j'attends le troisieme element de la famille.

les trois éléments de la famille sont la suite constante égal à 1, les deux suite Re(aⁿ)_nNet Im(aⁿ)_nN.


voilà pour la précision,

donc il faut montrer que ((1),(Re(a^n)),(Im(a^n)) est une base de L.
pour la liberte :
soit u,v,w dans R tels que
u*(1)+v*(Re(a^n))+w*(Im(a^n))=(0)

n=1=> u+v+w=0
n=2=> u+2*w=0
n=3=> u-2*v+2*w=0

donc v=0
u+w=0
u+2w=0
donc u=v=w=0

donc c'est libre.
on doit mainenant montrer que vect(((1),(Re(a^n)),(Im(a^n))) =L.

soit (*) la propriete :
u(n+3) = 3u(n+2)- 4u(n+1) + 2u(n)
(1) la verifie
comme a=1+i et d'apres mon dernier post sur l'indication
on sait que (1+i)^(n+3)=3*(1+i)^(n+2)-4*(1+i)^(n+1)+2(1+i)^n
donc (Re(a^n)) et (Im(a^n)) la verifie aussi
donc
vect(((1),(Re(a^n)),(Im(a^n))) est dans L.

soit une suite l dans L.
cette suite est parfaitement definie par ces 3 premiers termes et la relation (*).
on cherche u,v,w dans R tels que
u*(1)+v*(Re(a^n))+w*(Im(a^n))=l
n=0=> u+v=l(0)
n=1=> u+v+w=l(1)
n=2=> u+2*w=l(2)
w=l(1)-l(0)
donc
u+v=l(0)
u=l(2)-2*l(1)+2*l(0)
donc v=-l(0)+2*l(1)-l(2)

si tu veux avec ces valeurs tu prends g=u*(1)+v*(Re(a^n))+w*(Im(a^n)).g est dans L, par definition.
et tu montres que pour tout n dans N, g(n)=l(n).
(raisonnement par recurrence)
donc vect(...)=L
donc c'est une base de L.

pour u(n) son expression en fonction de n est :
u(0)=1
u(1)=1
u(2)=0.
on reprends mon systeme pour la suite l. on l'applique a u(n).
et on a u+v=1
        u+v+w=1
        u+2w=0
solution (0,1,0)

donc u(n)=Re(a^n)

j'ai verifie pour les 9 premiers termes ca a l'air de marcher...
voila
a+

pour la question 4 partieA, je n'arrive pas à montrer que l'ensemble S ets finie puisqu'il possède une base (question 7)


                  merci pour les différentes réponses
                                au revoir ,Math

salut
le fait qu'un e.v. possede une base ne veut pas dire
qu'il est de dimension finie.
si la base est de cardinal finie alors il est de dimension finie.
si il est de dimension finie alors le cardinal de la base est de dimension finie et toutes les bases ont meme cardinal.
S est de dimension infinie.
la encore raisonnement par l'absurde.
si il etait de dimension finie p comme les ek sont dans S et qu'ils sont libres on a une contradiction
car on devrait avoir p>=card(ek) et en fait
on a p<card(ek)

pour les espaces de dimension infinie je te conseille
cette page http://www.les-mathematiques.net/b/e/e/node8.php3
j'espere que les moderateurs ne seront pas faches...
etant donne que je fais un lien vers un autre site
mais j'ai pas trouve ce genre de chapitre ici.

ah j'oubliais,pour la 3a la famille des ek ne generent
pas R(N) car pour toute suite u dans R(N), il faut que tu trouves une combinaison lineaires de ek (donc une somme FINIE) qui soit egale a u.

a+

salut,

Excuse moi de ne pas t'avoir répondu mais j'avais du travail et je tentais de comprendre les réponses que tu m'a faites.

Je n'ai pas compris ce qu'était un support fixe dans ta réponse pour la question 7 partie A.
Pour la question 3 partie A, je pense que pour montrer que e^k n'est pas génératrice, il suffit de trouver un exemple pour lequel une suite ne peut pas se décomposer à l'aide de e^k. Le problème c'est que je n'en trouve pas . Je pensais à une suite qui a pour premier terme 0 mais je n'en suis pas sûr.

               encore merci pour les réponses;
                  au revoir, MATH

Salut,

Je ne vois pas comment on peut definir la dimension de S et donc en deduire si elle est finie ou non.

A+

dans la partie A, tu dis que e(k) n'est pas génératrice...mais je ne vois pas quel vecteur de R(N) cette suite ne pourrait pas générer...en est tu sûr? si oui, je ne comprends pas comment tu peux le prouver.
merci d'avance de m'éclairer.