P(x+1) = a(x+1)²+b(x+1)+c
P(x+1) = ax² + x(2a+b)+a²+b+c

P(x+2) = a(x+2)²+b(x+2)+c
P(x+2) = ax² + x(4a+b)+4a²+2b+c

P(x+3) = a(x+3)²+b(x+3)+c
P(x+2) = ax² + x(6a+b)+9a²+3b+c

d.P(x+1)+e.P(x+2)+f.P(x+3) =x²(ad+ae+af) + x(2ad+bd+4ae+be+6af+bf) + a²d+bd+cd+4a²e+2be+ce+9fa²+2fb+fc.

A identifier avec P(x) = ax² + bx + c
ad+ae+af = a  (1)
2ad+bd+4ae+be+6af+bf = b   (2)
a²d+bd+cd+4a²e+2be+ce+9fa²+2fb+fc = c   (3)

(1) ->
d + e + f = a   (1')
(2) ->
2a(d+e+f)+2a²+4af+b(d+e+f) = b
->
4a²+4af + ab = b  
f = (b - ab - 4a²)/4a    (2')

(3) ->
a²(d+4e+9f)+b(d+2e+2f)+c(d+e) = c
a²(a+3e+8f)+b(a+e+f)+c(d+e)=c
a²(a+3e+8f)+b(a+e+f)+c(a-f)=c

e(3a²+b) + a³+8a²f + ab + bf + c(a-f-1) = 0
e = [a³+8a²f + ab + bf + c(a-f-1)] / (3a²+b)     (3')


On a donc:
d + e + f = a   (1')
f = (b - ab - 4a²)/4a    (2')
e = [a³+8a²f + ab + bf + c(a-f-1)] / (3a²+b)     (3')

On trouve f par (2') puisque a, b et c sont donnés.
On trouve e par (3') puisque  a, b et c sont donnés et f vient
d'être calculé.
On trouve d par (3') puisque a est donné et e et f viennent d'être
calculés.
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Attention, je n'ai rien relu et il est presque sûr qu'il y a des erreurs
de calculs, refais le.