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Problème tour de hanoï 1ère

Posté par
Kelzolo
21-04-21 à 11:01

Bonjour, je bloque littéralement sur un exercice sur la tour de hanoï....
Voici l'énoncé :
On dispose de trois piquet A, B, C et de n disques percés empilés par ordre croissant de taille sur le piquet C ( voir photo)
Le but est de déplacer ces n disques du piquet C au piquet A en respectant les règles suivantes :
- on ne déplace qu'un seul disque à la fois et le disque déplacé doit aller sur l'un des deux autres piquets. On appelle cela un déplacement
- On ne peut jamais déplacer un disque sur un disque plus petit
Pour tout entier naturel n non nul, on note Hn le nombre minimal de déplacements nécessaires pour transporter une tour de n disques du piquet C vers le piquet A

Déterminer H1, H2, H3

Problème tour de hanoï 1ère

l'énoncé complet est là :

Voici la suite : Un = Hn + 0,5
1) démontrer que la suite est géométrique de raison 2.
Indications :
1a) Écrire Un+1 en fonction de Hn+1
1 b) Remplacer Hn+1 par ...
1c) puis expliquer pourquoi
Hn=Un-0,5 et le remplacer dans le calcul de Un+1
Vous devez obtenir : Un+1 = 2Un
1 D) Que peut on en déduire ?
1e) préciser la valeur de 1er terme U1
En déduire l'expression de Un puis celle de Hn

Pouriez vous m'aider ?


Un grand merci à vous

malou edit > **énoncé recopié**

Posté par
azerti75
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:13

Bonjour,

Qu'as-tu trouvé pour l'instant ?

Posté par
azerti75
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:15

Donne l'énoncé complet

Posté par
azerti75
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:16

Je n'ai rien compris,  c'est quoi Hn ?

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:17

Peut on joindre une photo ici ?

Posté par
azerti75
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:18

Non, c'est interdit sur ce site

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:19

Voilà ?

** image supprimée **

**malou edit > **image autorisée pour le moment***l'image a été mise en lien pdf dans le 1er message ***

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:20

Ah mince ! Je dois donc écrire l'énoncé en entier ?

Posté par
malou Webmaster
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:23

Je vais te demander de recopier le paragraphe "chercher en autonomie" (indispensable pour la recherche du sujet par mots clés)
et ensuite j'autoriserai le reste en image
merci aux aidants d'attendre que ce paragraphe soit recopié

Posté par
azerti75
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:29

C'est ton livre de maths ?

Certaines formulations sont étonnantes !
" on raconte à l'écrit, on s'enregistre, on se filme, on dessine "
Je cite les propos du manuel .....

Cela étant, c'est interdit les photos.

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:31

Alors voilà l'énoncé :
On dispose de trois piquet A, B, C et de n disques percés empilés par ordre croissant de taille sur le piquet C ( voir photo)
Le but est de déplacer ces n disques du piquet C au piquet A en respectant les règles suivantes :
- on ne déplace qu'un seul disque à la fois et le disque déplacé doit aller sur l'un des deux autres piquets. On appelle cela un déplacement
- On ne peut jamais déplacer un disque sur un disque plus petit
Pour tout entier naturel n non nul, on note Hn le nombre minimal de déplacements nécessaires pour transporter une tour de n disques du piquet C vers le piquet A

Déterminer H1, H2, H3

Problème tour de hanoï 1ère

Posté par
azerti75
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 11:38

Je dois quitter si quelqu'un veut bien prendre le relais.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 12:07

Bonjour,

H1 = le nombre minimum de déplacements pour déplacer un disque (totalement trivial)

H2 = le nombre minimum de déplacements individuels pour déplacer une pile de 2 disques en suivant les règles et en utilisant une tige intermédiaire

essaie !!!

en plus, on te dit même tout dans l'énoncé avec des vidéos à regarder !!

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 12:55

J'ai bien trouvé H1, H2, H3, on ma demandé de recopier l'énoncé, je l'ai recopier bêtement 😊 la ou je bloque c'est les questions de mon premier message, à sa voir : écrire Un+1 en fonction de Hn+1 ect...
Merci de votre aide

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 13:22

tu n'as jamais dit ce que tu avais fait et où tu en étais !!
(pas clair du tout)


OK
donc

Un+1 en fonction de Hn+1
bein ça c'est trivial

par définition Un = Hn +0.5 quel que soit n
"quel que soit n" ça veut dire qu'on peut remplacer n par ce qu'on veut dans cette formule :
par 2u
par 3a+b
etc etc
... par n+1
(par "copier coller au traitement de texte")

pour suivre, eh bien tu as Hn+1 en fonction de Hn des questions d'avant
donc tu peux écrire Un+1 en fonction de Hn

et calculer Un+1/Un en fonction de Hn et voir si par hasard ça ne se simplifie pas ...

en prenant la précaution d'expliquer pourquoi Un n'est jamais nul (pour avoir le droit de diviser par Un ...)

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 13:29

Merci pour vos explications mais cela reste flou pour moi

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 14:21

remplacer "n" par "n+1" dans une formule donnée ??!!!

fais le explicitement écrit et pas imaginer que tu le ferais peut être dans ta tête si tu "comprenais"
c'est le meilleur moyen de le comprendre !

Un = Hn + 0.5

Un+1 = ... ?

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 14:26

Un+1=Hn+1 +0,5
          ?????

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 14:46

Bon
en fait cet exercice est complètement faux de chez faux

H1 = 1, U1 =1+0.5 = 1.5
H2 = 3, U2 = 3+0.5 = 3.5
3,5 n'a jamais été le double de 1,5 !!

on ne peut même pas invoquer une faute de frappe vu que c'est répété
balancer ça au prof qui a pondu de telles âneries (sans parler de la façon dont cet énoncé est rédigé .. lamentable)

l'énoncé correct pourrait être :

Un =Hn + 1
1) démontrer que la suite (U) est géométrique de raison 2.
Indications :
1a) Écrire Un+1 en fonction de Hn+1
1 b) Remplacer Hn+1 par ...
1c) puis expliquer pourquoi
Hn=Un - 1 et le remplacer dans le calcul de Un+1
Vous devez obtenir : Un+1 = 2Un
1 D) Que peut on en déduire ?
1e) préciser la valeur de 1er terme U1
En déduire l'expression de Un puis celle de Hn

attention à ne pas confondre Un+1 et Un+1
pour cela il est obligatoire d'écrire les indices en indices
Un et pas Un

en utilisant le bouton X2 qui met en indice ce qui est écrit entre les "balises [sub]...[/sub]
vérifier avec le bouton Aperçu avant de poster

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 14:49

Citation :
Un+1=Hn+1 +0,5
avec les indices écrits en indices (et cet énoncé faux)

Un+1=Hn+1 +0,5 oui.

avec le bon énoncé :
Un = Hn + 1
Un+1 = Hn+1 + 1

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 15:22

Le mieux à faire donc, c'est de contacter mon prof ? En tout cas merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 15:36

tu peux faire l'exo en entier avec la correction d'énoncé que je t'ai donnée ...

de toute façon montre ça à ton prof pour lui justifier que son énoncé (ou celui qu'il a pompé aveuglément) est faux :

Citation :
H1 = 1, U1 =1+0.5 = 1.5
H2 = 3, U2 = 3+0.5 = 3.5
3,5 n'a jamais été le double de 1,5 !!


et lui suggérer la correction que j'ai proposée :
Un =Hn + 1
et Hn=Un - 1

tout le reste étant inchangé.

avec cette correction, ça marche :
H1 = 1, U1 =1+1 = 2
H2 = 3, U2 = 3+1 = 4
et 4 est bien le double de 2
ce n'est bien sur pas une preuve mais juste une vérification que avec cette correction là ça peut marcher
la preuve sera par les réponses aux questions successives...

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 21-04-21 à 15:57

Super merci. Je reviens vers vous
Merci

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:26

Bonjour
Après avoir contacté mon prof,c'est belle et bien un=hn+1, la bonne fonction !
Merci à vous pour cela.
Pour démontrer que la suite un=hn+1 est géométrique de raison 2, il faut faire : un+1 / un ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:41

oui ou non
écrire un quotient pose toujours le problème de prouver d'abord qu'on ne divise jamais par 0 quel que soit n

il faut surtout suivre les questions dans l'ordre
ce qui aboutit à obtenir Un+1 = k fois Un qui est la définition propre d'une suite géométrique
il est même donné pour vérification de ses propres calculs que on doit aboutir à Un+1 = 2 Un

donc :

1a) Écrire Un+1 en fonction de Hn+1
fait : Un+1 = Hn+1 + 1

1 b) Remplacer Hn+1 par ...
(par un truc avec Hn)

1c) puis expliquer pourquoi
Hn=Un - 1
(comment est défini Un ?)

et le remplacer dans le calcul de Un+1

Vous devez obtenir (après simplification) : Un+1 = 2Un

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:43

Avec la suite un = hn +1 on a :
un +1 / un
= hn+1+1 / hn+1
ici on simplifie par hn+1? Et il reste 1 ?

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:47

Pour la 1b) je ne vois pas par quoi remplacer un+1
" Un truc avec hn " ???

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:52

Pour la 1c), on isole hn+1
On va avoir : hn+1 = un+1 - 1 car le 1 est passé de l'autre côté du =donc il change de signe ?
Et hn+1= un+1 - 1 = hn = un - 1

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:54

tu penses vraiment que (3+1)/3 = 1 ??


(hn+1+1) / hn+1
(parenthèses obligatoires quand on écrit "en ligne" car la division / est plus prioritaire que l'addition)

est de toute façon faux

\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{H_{n+1}+1}{H_n+1}
ne pas confondre Hn+1 et Hn + 1 !

et ce calcul n'apporte rien de bon directement
suivre les questions de l'énoncé
en comprenant que :
1) démontrer que la suite (U) est géométrique de raison 2.
celu est juste l'annonce du but final à atteindre

Indications : etc
et ceci est ce qui est à faire pour l'atteindre.

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:58

1b) hn+1 = un+1 - 1
Est ce correct ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 10:59

1b) c'est utiliser (recopier) le résultat de la partie 1
(Hn+1 en fonction de Hn )

1c) faire les questions dans l'ordre : impossible de faire la 1c sans avoir faut la 1b avant
il n'y a plus du tout de Hn+1 dans la 1c

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 11:03

si tu fonces tête baissée dans des fausses pistes avant d'avoir l'aval de tes résultats précédents, la discussion va devenir incompréhensible ...
avec des réponses qui s'adressent deux messages au dessus (posts croisés)

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 11:10

D'accord, le problème c'est que je ne comprends pas grand chose...


Donc :

Pour la 1 b) hn+1 = un+1 - 1??? Je vois pas d'autres solutions ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 11:22

1a ) Un+1 = Hn+1 + 1

1b ) on sait depuis la partie 1 que Hn+1 = 2Hn + 1
donc on remplace Hn+1 par ça, ce qui donne
Un+1 = (2Hn + 1) + 1

1c) maintenant Hn = Un - 1
etc (on remplace ...)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 11:24

je vais devoir quitter
la suite cet après-midi si tu es toujours coincé et si personne n'a pris la relève

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 11:26

Pour le 1c, toujours rien compris...
Par quoi voulez vous que je remplace Hn et Un ?

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 11:27

Oui pas de soucis. Merci à vous. Pour l'instant je bloque. Mais je vais continuer à chercher

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 15:34

de retour,

dans Un+1 = (2Hn + 1) + 1
tu remplaces Hn par ce qu'on vient d'obtenir :
Hn = Un -1
bien entendu
de sorte qu'il n'y aura plus que des U et rien d'autre dans cette égalité

je rappelle que le but affiché est d'aboutir à
Un+1 = 2Un !!

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 16:35

On a donc : Un+1 = ( 2Un-1 +1) +1.
C'est bien sa ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 16:48

pas Un-1 !
Un - 1

il n'est tout de même pas si difficile que ça de simplement recopier une expression pour remplacer un terme
sans se mélanger les pinceaux entre l'indice et les opérations que l'on effectue sur le terme lui même
Un-1 le terme précédant Un
par exemple U2 est le terme qui précède U3
rien à voir avec
Un - 1 le terme Un lui-même, auquel on retranche 1

attention, des parenthèses sont obligatoires en remplaçant Hn par Un -1 :

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 22-04-21 à 17:04

Merci bien
Reste à simplifier mais sa, je sais le faire.
L'exercice est terminé. Heureusement que vous êtes là...
Merci beaucoup et bonne après midi

Posté par
Kelzolo
re : Problème tour de hanoï 1ère 23-04-21 à 11:17

Bonjour
En question facultative on me demande de trouver l'expression explicite de un et de hn. Comment puis je m'y prendre ?

Posté par
malou Webmaster
re : Problème tour de hanoï 1ère 23-04-21 à 11:29

Bonjour
afin de préparer une réponse à mathafou
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