1) tout mettre dans le meme membre.
2) pour calculer la dériver utiliser les formules (u+v)'=u'+v'
et (u/v)'=(u'v-uv')/v² pour le signe réduire au meme
dénominateur puis factoriser le numérateur en utilisant a²-b²=(a+b)(a-b)
faire ensuite un tableau de signes.
3) immédiat avec ce qui précède
4) f(x)=0 réduire au même dénominateur on obtient (1-x-x²)/[x(1-x)]=0
ce qui équivaut à 1-x-x²=0 tu calcule le discriminant et tu trouves
le nombre de solutions.
5) tu dois trouver l'une des 2 valeurs positive et l'autre
négative donc l'équation f(x)=0 doit avoir une solution entre
0.6 et 07
6) utiliser la méthode de dichotomie ou balayage
7) immédiat
8) pour # tu utilises #/(1-#)=1/# tu mets tout du même côté tu réduis
au même dénominateur et tu trouves # solution de 1-x-x²=0 (cf 4))
pour @ tu sais que @=1/# donc #=1/@  @ solutions de 1-1/@-(1/@)²=0
on réduit au même dénominateur  on trouve @ sol de 1-x-x²=0 puis
ensuite tu te sers du discriminant et tu trouves la valeur demandée.

1)
immédiat.
MAIS f(x) nexiste pas en x = 1

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2)
f(x) = (1/x) - (x/(1-x))
f '(x) = -(1/x²) - [(1-x+x)/(1-x)²]
f '(x) = -(1/x²) - 1/(1-x)²

f'(x) < 0 dans[1/2 ; 1]
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3) f(x) décroissante sur [1/2 ; 1]
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4)
f(1/2) = 1 > 0
lim(x-> 1-) f(x) = -oo
Et avec f décroissante sur [1/2 ; 1]
On conclut qu'un et une seule valeur de x annule f(x) sur ]1/2
; 1[
Donc l'équation f(x) = 0 admet une et une seule solution sur ]1/2
; 1[
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5)
f(0,6) = 0,17 à moins de 0,01 près
f(0,7) = -0.90 à moins de 0,01 près
On en déduit que f(x) = 0 pour une valeur de x dans ]0,6 ; 0,7[
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6)
Par approximations successives, on fini par trouver:
f(0,618) = 0,00032... > 0
f(0,619) = -0,0091... < 0
Et donc f(x) = 0 pour une valeur de x dans ]0,618 ; 0,619[
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7)
du point précédent, on a:   0,618 < # < 0,619
1/0,618 > 1/# > 1/0,619
1,619 > 1/# > 1,615
1,615 < 1/# < 1,619
1,615 < @ < 1,619
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8)
pas sûr d'avoir bien saisi la question

(1/x) - x/(1-x)=0
(1-x - x²)/(x(1-x)) = 0
et si x différent de 0 et 1 ->
1 - x - x² = 0
x² + x - 1 = 0
x = (-1 +/- V5)/2

# = (-1 + V5)/2
@ = 1/# = 2/(-1+V5)
@ = 2/(-1+V5) = 2(-1-V5)/[(-1+V5)(-1-V5)]
@ = 2(-1-V5)/(1-5)
@ = 2(-1-V5)/(-4)
@ = (1+V5)/2

@ = 1,61803398875... qui colle avec 1,615 < @ < 1,619 trouvé avant.
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Sauf distraction.