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probleme TS spé math
Bonjour à tous et bone année!
Je lutte sur un exercice dont voici l'énoncé:
28 personnes participent à un repas gastronomique. Le prix normal est de 26€ sauf pour les étudiants et les enfants qui paient respectivement 17 et 13€. La somme totale recueillie est de 613€. Calculez le nombre détudiants et d'enfants ayant participé au repas.
A premiere vue on se retrouve avec un systeme de 2 equation a 3 inconnues. Or je ne sais pas résoudre ce genre de système!
Ensuite, vu que c'est un exo de spé, j'ai pensé qu'il fallait peut-être utiliser le PGCD entre 13 et 17 par exemple, mais je ne vois pas quoi faire.
Certes ce n'est pas ce qu'il faut faire mais en cherchant j'ai trouvé qu'il y avait 7 étudiants et 4 enfants. Seulement comment le prouver!!
Aidez moi s'il vous plaît
Bonjour,
x = nombre d'étudiants (0 < x < 28)
y = nombre d'enfants (0 < y < 28)
On a : 26(28-x-y)+17x+13y = 613
Donc : 728-26x-26y+17x+13y = 613
Donc : 9x+13y = 115
Donc : 9x+13y = 9*7+13*4
Donc : 13(y-4) = 9(7-x)
Puis appliquer le théorème de Gauss ...
Bonsoir,
J'ai eu exactement le même problème à mon examen (je suis en première année pour devenir instituteur primaire). L'énoncé était le même, mais il me demandait deux méthodes pour l'effectuer.
Dans un premier temps, est-ce vraiment un problème pour le primaire (Belgique) ?
Dans un deuxième temps, je ne comprends pas très bien la résolution de Marcel, avec le théorème de Gauss. Pouvez-vous m'expliquer ?
Dans un dernier temps, connaissez-vous la seconde méthode pour réaliser ce problème ?
Merci d'avance de votre aide
Bien à vous
Stevens
bonjour
la méthode de Marcel c'est ce qui vient à l'esprit directement
parmi les 28 personnes, on a x étudiant et y enfants (évidement x < 28 et y < 28 entiers naturels)
28 - x - y ce sont les "autres" ceux qui payent 26€ ; x ce sont les "étudiants" qui payent 17€ ;
y ce sont les "enfants" qui payent 13€
-------------------------
on a donc l'équation suivante (qui traduit la somme totale recueillie est 613€):
(E) : 26(28 - x - y) + 17x + 13y = 613
-26x - 26y + 17x + 13y = 613 - 728
9x + 13y = 115
c'est une équation diophantienne
pour la résoudre
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1ère étape c'est trouver une solution particulière (quand elle n'est pas évidente, on utilise l'algo d'Euclide) :
13 = 9*1 + 4
9 = 4*2 + 1
DONC
1 = 9 - 4*2 = 9 - (13 - 9*1)*2 = 9 - 13*2 + 9*2
Soit
9*3 - 13*2 = 1 (multiplie par 115)
9*(3*115) - 13*(2*115) = 115
9*345 - 13*230 = 115 (le couple (345 , -230) est solution particulière de notre équation (E) )
"ici les chiffres sont bien plus grands que ceux de Marcel mais c'est une solution particulière quand même,
et c'est là la méthode quand elle ne saute pas aux yeux ..."
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2ème étape
On suppose que (x ; y) est solution de (E) DONC 9x + 13y = 9*345 - 13*230
13(y + 230) = 9(345 - x)
Pour Marcel c'était
Donc : 9x+13y = 9*7+13*4
Donc : 13(y-4) = 9(7-x)
Et là on applique le théorème de Gauss qui nous permettra de trouver de quelle force est x et donc de quelle forme est y
le théorème de Gauss dit:
J'applique, à partir de 13(y + 230) = 9(345 - x) on peut dire que 13 / 13(y + 230 (13 divise le produit ...)
SOIT 13 / 9(345 - x)
en remplaçant dans (E) : 13(y + 230) = 9(345 - x) on trouve y = 9k - 230
DONC l'ensemble des solutions est inclue dans l'ensemble des couples (x , y) de la forme (345 - 13k , 9k - 230) k entier relatif
3ème étape on vérifie :
SI x = 345 - 13k , y = 9k - 230 k entier relatif ALORS 9x + 13y = 9(345 - 13k) + 13(9k - 230) = 9*345 - 13*230 = 115
SOIT (x , y) est solution de (E)
Au final S = {(345 - 13k , 9k - 230) k
}
--------------------------------
on ne doit pas oublier que 0 < x < 28 ET 0 < y < 28 CE QUI donne des conditions sur k et DONC la valeur de k !
et ce qui te permet de trouver x et y !
l'autre façon c'est de la géométrie
z : le nombre de grandes personnes
y : le nombre d'enfants
x : le nombre d'étudiants
On a le système suivant
note le plan P : x + y + z = 28 et Q : 17x + 13y + 26z = 613
pour résoudre
Tu continues, c'est un système de deux équations à 2 inconnues maintenant et tu trouves les mêmes solutions que celles d'avant
exprimer y et z en fonction de t, ne pas oublier les contraintes. y et z entiers naturels, et c'est fini...
et pour ta 1ère question
c'est bien un problème classique de spé math !
le théorème de Gauss (et donc tout le problème) ce n'est QUE pgcd / ppcm , sauf que c'est plus structuré/avancé ....
ce n'est là pourtant qu'un petit exercice d'application ...
c'est quoi le niveau (que tu parles) dans le système français ?
regarde le tableau 
[lien]
je relis ton message:
je suis en première année pour devenir instituteur primaire
première année de quoi?
Bonjour
S'il s'agit de jeunes élèves n'ayant pas de connaissances particulières en arithmétique, ni sur l'étude d'intersection de plans, à partir de l'équation
9x+13y = 115
et sachant que x et y sont des entiers naturels non nuls
ils peuvent faire une étude exhaustive des possibilités (y ne ne pouvant prendre que les valeurs de 1 à 8) et découvrir rapidement la solution.
Je me classe dans les Autres.
Je suis en première année d'étude pour devenir instituteur primaire. Je serais amener à donner cours à de jeunes enfants allant de l'age de 6 ans à 12 ans, donc du Cm1 au 6ème collège. Je me vois mal donner un problème pareil à mes futurs élèves. Est-ce que cela répond à votre question ?
oui.
en fait, je pensais que tu as ça à ton examen parce que c'est de ton niveau et que ce n'était pas forcément pour donner l'énoncé à des élèves de primaire ...
à 12 ans, je ne savais pas ce que c'était un système ... ou même une équation ...
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