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problémes!!
aider moi a résoudre ce problème car jarive pa a répondre a toutes les questions et ca me bloc!merci d avance
on se pose d'étudier la fonction f définie sur l'intervalle ]o;+l'infini[ par:
f(x)=x+(2lnx/x)
le plan est rapporté a un repère orthonormal.L'unité graphique est 2cm
on note (C) la courbe représentative de la fonction f
1)variation de la fonction f
on note f' la fonction dérivée de la fonction f
g la fonction définie sur )o;+l'infini[
g(x)=x^2+2-2lnx
la tableau de variation de g est le suivant
il décroit sur ]o;1[ et décroit sur ]1;+l'infini[
a)en déduire que g(x) est strictement positif pour tout x de ]o;+l'infini[
b)montrer que our tout x apartenant a ]o;+l'infinI[ f'(x)=g(x)/x^2
c)en déduire le sens de variation de f
2)branches infinie de la courbe (C)
a)démontrer que la limite en 0 de la fonction f est -linfini
b)démontrer que la limite en +l'infini de la fonction f est + l'infini;et que la droite(D)d'équation y=x est asymptote a la courbe (C)
c)etudier la position relative de la courbe (C) et de la droite (D).Préciser les coordonnées de leur point d'intersection A
3)Des tangentes a la courbe (C)
a) déterminer une équation de la droite (T) tangente a la courbe (C) en son point d'abscisse 1
b)montrer que la courbe (C) admet une tangente (T')parallèle a la droite (D) d'équation y=x.préciser les coordonnées du point de contact B de la courbe (C)et de la droite (T')
1)
f(x) = x + (2ln(x))/x
f '(x) = 1 + [(2-2ln(x))/x²]
f '(x) = [x² + 2 - 2ln(x)]/x²
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On a donc f '(x) = g(x) /x²
et comme x² > 0 pour x dans ]0 ; oo[, f '(x) a le signe de g(x).
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Du tableau de variations de g(x), on conclut que g(x) est minimum pour
x = 1, ce min vaut g(1) = 3.
Et donc g(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[
-> f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ et f(x) est croissante.
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2)
a)
lim(x-> 0+) f(x) = 0 + 2ln(0+)/(0+) = -oo/0+ = -oo
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b)
lim lim(x-> oo) (2ln(x))/x = 0 car x croît plus vite que ln(x). (1)
lim(x-> oo) f(x) = oo + 0 = oo
Avec (1) , si x -> oo, f(x) tend vers la droite y = x.
La droite d'équation y = x est asymptote oblique à C.
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c)
Etudier le signe de : h(x) = f(x) - x
h(x) = x + (2ln(x))/x - x = (2ln(x))/x
h(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> x + (2ln(x))/x < x et C est en dessous
de D.
h(x) = 0 pour x = 1 -> x + (2ln(x))/x = x et C et D coïncident. (coordonnées
du point d'intersection A(1 ; 1))
h(x) > 0 pour x dans ]1 ; oo[ -> x + (2ln(x))/x < x et C est au dessus
de D.
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3)
a)
f(1) = 1
f '(1) = 3
T: (y - 1) = (x - 1).3
T: y = 3x - 2
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b)
Les parallèles à D ont le même coefficient directeur que D, soit 1
f '(x) = 1 si [x² + 2 - 2ln(x)]/x² = 1
x² + 2 - 2ln(x) = x²
2 - 2ln(x) = 0
ln(x) = 1
x = e
f(e) = e + (2/e) = (e²+2)/e
On a donc B(e ; (e²+2)/e)
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Sauf distraction.
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