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problèmes sur un petit exo de geometrie plane
bonjour,
Je suis bloqué sur cet exercice de géométrie (j'ai beau essayer diverses méthodes, je n'y arrive pas). J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.
"Soient ABCD un vrai parallélogramme, et M un point du plan.
- la parallèle à (AB) passant par M coupe (AD) en E et (BC) en F.
- la parallèle à (AD) passant par M coupe (AB) en G et (CD) en H.
1. On suppose ici que M n'appartient pas à (BD), et on se propose de montrer que les droites (EH), (FG), et (AC) sont parallèles.
- Etablir les parallélismes attendus en utilisant le Théorème de Thalès.
2. On suppose ici que M n'appartient pas à (BD), et on se propose de montrer que les droites (EH), (FG), (AC) sont cette fois-ci concourantes.
- Déterminer les coordonnées barycentrsiques des points E, F, G, H dans le repère (A,B,D) avec a+b+c=1 coordonnées barycentriques de M.
- Mettre alors en évidence un point commun aux droites (EH) et (FG)."
Salut molp, décidément tu n'aimes pas la géométrie! 
1) Tu t'es trompé, ici on suppose que M appartient à (BD)!
Tu as plein de parallèles, donc de parallélogrammes.
Comme souvent, Thalès est lourd à utiliser, je lui préfère de loin les homothéties, tu adapteras si tu veux.
Quelle que soit la ^position de M sur BD, tu peux considerer l'homothétie h de centre M qui envoie G sur H.
Alors B a pour image un point B' tel que M,B,B' alignés et tel que GB // HB'.
Donc B'=D.
Alors en notant F' l'image de F, BF a pour image DF' donc BF // DF', autrement dit F' est sur DA.
De plus F' est aligné avec M et F, d'où F' = E.
Comme G a pour image H il en résulte bien FG // EH.
De même pour AC .
2)Raisonne à partir des coordonnées barycentriques de M puisque tout en dépend! 
Au fait je t'ai convaincu pour le déterminant?
Tigweg
Bonjour Tigweg,
Je comprends ce que tu as fais avec les homothéties mais je n'arrive pas à le transposer en Thalès. Est-ce que tu pourrais au moins m'aider à démarrer.
Pour la 2) je ne suis pas sur de savoir comment manipuler les coordonnées barycentrisue :
*elles se manipulent comme des coordonnées normales ???
parce que si c'est oui alors j'obtients par exemple d'après la figure pour le point G (a,b,0) et là on a plus légalité caractéristique des coordonnées barycentriques a+b+c=1.
*où est-ce que ce n'est pas du tout la même chose que des coordonnées cartésiennes ???
merci d'avance.
Ne me dis pas que tu es OBLIGE de travailler avec Thalès quand même!
D'après ton énoncé, ce n'est q'une indication, un moyen POSSIBLE de résolution
Sinon remarque que le quotient MB/MD est égal à différentes autres choses d'après Thalès puis applique sa réciproque!
2)NON ce n'est pas la même chose, mais il y a des analogies.
Appelle x et y les coordonnées cartésiennes de M dans (A,AB,AD) et fais apparaître une relation vectorielle liant MA, MB et MD pour déterminer ses coordonnées barycentriques dans (A,B,D), arrange -toi pour que leur some soit 1.
Enfin utilise la conservation du barycentre par projection pour en déduire par exemple, les cordonnées barycentriques de E dans (A,D).
Tigweg
Pour ce que je viens de te dire sur la conservation du barycentre par projection, ca marche lorsqu'un point est considéré comme barycentre de deux autres points, ce qui n'est possible que s'ils sont algnés.
Je pense que j'introduirais comme barycentre partiel le point J, intersection de AB et MD.
Après tu peux exprimer M comme barycentre de J et D puis projeter cela sur AD pour avoir E en fonction de A et D.
Bon il y a le cas embêtant où J n'existe pas, à savoir quand M est sur CD, mais dans ce cas M et H sont confondus, donc ce sous-cas est sans doute plus simple à traiter.
Il y a beaucoup plus simple, sui-je bête!! 
Au départ tu appelles x et y les coordonnées cartesiennes de M, donc E a aussi pour absxisse x!
Or tu as calculé x et y en fonction des coordonnées baryentriques a,b,d de M, par ailleurs on a AE=xAD donc (x-1)EA -xED = 0
ce qui donne les coordonnées barycentriques de E en fonctin de x, et donc en fonction de a,b, et d.
Désolé! Pas de cas à distinguer donc
1)
Bah je crois que vu comment l'ennocé est posé on est un epu obligé :
Mais j'avais établis les relations suivantes e considérant les triangles BCD et ABD :
MF/DC = BF/BC = BM/BD = BG/BA = GM/AD
mais après je ne vois pas comment exploiter ceci...
as tu des idées ?????
je réfléchit à la 2)
Tes relations ne me semblent pas judicieuses, tu as besoin de prouver que MG/MH=MF/ME.
Passe donc par MB/MD comme je te l'ai suggéré, en exploitant les parallélismes de GB et HD d'une part, puis de FB et ED.
2) AM = xAB + yAD
Chasles : (1-x-y)MA + xMB +MD = 0
donc avec a=1-x-y, b=x et c=y ca marche !!!
on a E(0,y) dans (AB,AD), d'où :
AE = yAD
ie (1-y)EA + yED = 0
ie (a+b)EA + cED = 0
Mais là comment avoir les coordonnées barycentriques ???
on a F(1,y) dans (AB,AD), d'où :
AF = AB + yAD
ie FB + yFD - yFA = 0
ie (a+b+c)FB + cFD - cFA = 0
Mais là comment avoir les coordonnées barycentriques ???
on a G(x,0) dans (AB,AD), d'où :
AG = xAB
ie (1-x)GA + xGB = 0
ie (a+c)EA + bED = 0
Mais là comment avoir les coordonnées barycentriques ???
on a H(x,1) dans (AB,AD), d'où :
AH = xAB + AD
ie xHB - xHA + HD = 0
ie (a+b+c)HD + bHB - bHA = 0
Mais là comment avoir les coordonnées barycentriques ???
Ensuite pour la question d'après je vois pas comment faire !!!
Je regarde ce que tu viens de poster pour la 1).
Oui ça me paraît bon.
Ta question est simple: par définition même, les coordonnes barycentriques de E dans (A;D) sont a+b et c, donc dans (A;B;D) cela donne (a+b;0;c).
Par ailleurs pour F rappelle-toi que a+b+c=1.
1) Tous les rapports ici seront donnés en mesure algébrqiues :
Dans le triangle BCD :
On a MB/MD = FB/FC et comme ABEF est un parllélogramme on a : FB = EA et comme EFCD est un parallélogramme, on a : FC = ED.
On a donc : MB/MD = FB/FC = EA/ED.
Or AEHG et EMHD sont des parallélogrammes donc on a : EA=MG et ED = MH.
Ainsi on trouve que : MB/MD = MG/MH
Par un raisonnement analogue on trouve que :
MB/MD = GB/GA = HC/HD = MF/ME.
On a donc finalement :
MG/MH = MF/ME
## donc les droites (EH) et (FG) sont parallèles (est-ce que c'est suffisant???).
ET pour montrer que (EH) // (AC) comment doit on faire ??? dans quel triangle se mettre car à première vue je ne vois pas !!!
Pour la dernière question on a une petite indication :
un point de (EH) est un barycentre des points E et H...
mais je ne vois pas du tout comment exploiter ceci !!!!
Première question: ce n'est passuffisant pour appliquer la réciproque de Thalès!
Tout bon élève de Troisième te récitera qu'il faut ausi que les points soient alignés dans le même ordre sur chacune des deux droites (ce qui est le cas ici) !
Deuxième question : passe par DB/DM
Troisième question : pour montrer que 3 droites sont concourantes, je cherch une condition pour qu'un certain point de EH soit aussi sur DF et sur AC.
Cherche donc des conditions pour que le barycentre X de E;e H;h soit aussi barycentre des autres paires de points (je ne l'ai pas fait, ce n'est qu'une idée!)
Tigweg
Pour la 1 j'avais stipulé au début qu'on paralit en terme de mesures algébrqiues : donc il me semble que ca suffit ???
Pour la 2) je tourve :
DB/DM = CB/CF = DA/DE = DC/DH = AB/AG
donc car ... alignés : (AC)//(EH) donc a fortiori : (EF)//(AC)//(FG).
POur la 3) je réfléchis....
Est-ce que pour la 3) on peut exprimer les vecteurs EH et FG en fonction des coordonnées cartésiennes (ou faut'il utiliser les coordonnées barycentriques) ? pour faire apparaitre un barycentre pondérés des points E,F,G,H affectés de coefficients que l'on déterminera ????
Pour la 1 j'avais stipulé au début qu'on paralit en terme de mesures algébrqiues : donc il me semble que ca suffit ???
> Désolé, dans ce cas c'est évidemment juste!
Pour la 3 je pense que ton prof apprécierait que tu ne calcules pas le cooonnées cartésiennes du point de concours des 3 droites, mais que tu raisonnes avec des barycentres (vu le chapitre
)et donc est ce qu'il est possible d'exprimer les coordonnées du vecteur EH en fonction des coordonnées barycentriques de E et H ?????
Est-ce qu'on al droit de faire ca ??? Ou du moins est-ce que c'est possible ???
Je te le déconseille fortement, sinon tu retombes dans le cartésien.
Il vaudrait mieux un raisonnement typiquement barycentrique.
mais alors comment faire apparaitre un point de (EH) comme barycentre des points E et H rt montrer ensuite qu'il est également baryecntre de F et G ????
Deplus pourquoi nous a-ton demnadé de calculer les coordonnées barycentriques de E,F,G,H si c'est pour ne pas les utiliser ????
Bien-sûr qu'il faut les utiliser, mais pas comme tu penses!!!!
Appelle X le point de croiement de EH et AC et cherche ses coordonnées barycentriques.
Puis montre q'on peut très bien ne faire apparaître là-dedans que les points F et D.
Ainsi X era aussi sur FD, donc les droites seront concourantes.
je te posterais ma reponse demain matin là se suis mort : dûre semaine de reprise !!!
Bonne soirée Tigweg !!
Mort de rire on pourrait même dire "résurrection" !!!
(Moi aussi je dois être mort pour faire des fautes pareilles!!)
Bonjour Tigweg,
Tu as toujours le mot pour rire !!!
Non j'étais variment mort de chez mort j'ai même utiliser deux crédits de vie.....(moi aussi je suis rigolo; NON ???)
Donc pour la questions :
Les droites (EH) et (FG) n'étant pas parallèles, elles sont donc sécantes en un point X :
et donc est-ce que je vais dans la bonne direction en utilisant Chasles de la manière suivante :
* EX + XH = AG + ED (en vecteurs)
** XF + FG = XE + AB + EA + BG (en vecteurs)
où est-ce qu'il ne faut pas du tout utiliser des égalités vectorielles (parce que si c'est pas le cas je crois que je ne vois pas vraiment comment faire!!!)
Salut molp, mais oui t'es un rigolo toi aussi!!
Alors Lazare, ressuscité?
Moi je dormais du sommeil du Juste!
Pour ta questio, je ne partirais pas comme ça, faut oublier les vecteurs!
Inroduis un point X avec des coordonnées barycentriques ad hoc qui te permette, en utilisant des barycentres partiels, de prouver que X est sur deux des droites .Ensuite par usage d'un autre barycentre partiel, prove que X est aussi sur la troisième.
Pour un exemple beaucoup plus simple (mais néanmoins analogue) du type de raisonnement qu'on peut faire avec les barycentres, je te renvoie au topic suivant et à mon intervention de 6h25:
Barycentres : intersection de droites
Tigweg
Bonjour Tigweg,
C'est Lazare qui te parles houhouhou.... (oui j'ai mangé un clown ce matin, et je crois que j'ai pas bien digéré le nez rouge!)
Mon raisonnement tiens t il la route ? ou est-ce qu'il fait des tonneaux (je sais pas ce qui m'arrive aujourd'hui?)?
Si on introduit le point X défini par :
X=bar{(A,a),(B,b),(C,c+1)}
on a également en utilisant la désassociativité du barycentre : X=bar{(A,a+b),(A,-b),(B,0),(B,b),(C,c),(C,1)}
Par associativité du barycentre on obtient finalement :
X=bar{(E,a+b+c),(H,1)} autrement dit car a+b+c=1
X=bar{(E,1),(H,1)} donc X=mil[EH] donc a fortiori X appartient à (EH).
pour que l'on ait X appartient à (FG) il faudrait que X=bar{(A,a),(B,1+b),(C,c)} mais là je vois pas comment faire apparaitre ceci !!!!!
Ton premier raisoonnement est excellent (à condition toutefois, et je ne l'ai pas vérifié) que l'on ait bien E barycentre de A;a+b C;c et H barycentre A;-b B;b C;1.
Le fait que tu ne parviennes pas à conclure pour FG prouve juste que tu n'as pas introduit le bon point X!
D'ailleurs X n'a aucune raison d'être le milieu de EH puisque sa position dépend de M qui est placé au hasard!!
MAis donc pour construire le point X est-ce qu'il faut que je parte des points E et H pour ensuite faire apparaitre les points F et G (parce que là je vois pas comment faire)
ou est-ce qu'il faut que je parte des points A,B,D ????
Bon j'ai une solution très compliquée, je te la donne:
Déjà pour E remplace a+b par 1-c et pour G remplace a+c par 1-b, on vire a
Ensuite finalement il est plus simple de considérer pour X le point de croisement de AC et EH.
Pour cela appelons X le barycentre de (A,1-l) (C,l) et Y celui de( E,1-u)( H,u).
On cherche l et u pour que X et Y coïncident, ce qui donnera les coordonnées barycentriques du point de croisement de AC et EH.
Outil : barycentre partiel.
Calculs pour X :
je prends A (1,0,0) en coord. bary. et je multiplie chaque coordonnée par (1-l)
je prends C (-1,1,1) en coord. bary. et je multiplie chaque coordonnée par l.
Je mets côte à côte, je regroupe les mêmes points ensemble.
Le résultat sera X en fonction de A,B,D,mais avec l variable pour l'instant.
On trouve X bary (A,1-l) (B,0) (D,0) (A,-l) (B,l)(D,l) soit (A,1-2l)(B,l)(D,l)
De même pour Y je trouve (A,1-c-u+cu-bu),(B,bu)(D, c-cu+u)
Je veux X=Y donc j'identifie les coordonnées qui sont égales vu que leurs sommes respectives valent 1 chacune.
En regardant les deuxième et troisième cordonnées je trouve bu=l et c-cu+u=l d'où u=-c/a et l=bu=-bc/a.
Ensuite on vérifie que ça marche encore pour la première coordonnée.
Finalement X=Y est le barycentre de (A,1) (B,-cb/a)(D,-cb/a).
Pour la rédaction finale tu peux aussi partir de là et montrer qe X défini ainsi est bien sur les deux droites en faisant le raisonnemnt contraire, c'est sans doute plus rapide et moins laborieux.
Reste à vérifier qu'il est encore sur FG.
Appelle Z le barycentre de F,1-m G,m et raisonne pareil en revenant aux coord de F et de G : on cherche m pour avoir Z=X.
Je trouve que ça marche et que m=1+(b/a).
Ainsi X est bary de F,-b/a G 1+(b/a) donc X est sur les trois droites!!!
Tigweg
Tigweg
super comme d'habitude, Je crois que j'ai bien compris mais si jamais j'ai un problème je poste un nouveau message.
Toutefois j'ai un petit reproche : C'est pas sérieux d'appeller une variable l parce que la différente avec un en chiffre bah elle existe pas !! non je rigole ca va j'arrive à différencier les 2 !!!
merci beaucoup pour ton aide et bonne soirée !!!
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