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Posté par Profil Ramanujan 13-02-20 à 18:05

Bonsoir

Je ne comprends pas le calcul de :

\prod_{i=0}^p 3^i \prod_{j=0}^q 5^j

J'aurais écris que \sum_{i=0}^p i = \dfrac{p(p+1)}{2} et  \sum_{j=0}^q i = \dfrac{q(p+1)}{2}

Donc \prod_{i=0}^p 3^i \prod_{j=0}^q 5^j =3^{ \frac{p(p+1)}{2}} 5^{ \frac{q(q+1)}{2}}  

Mais mon livre donne comme solution autre chose je ne comprends pas l'erreur.

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 18:07

Si tu ne nous donnes pas le résultat de ton livre, on aura bien du mal à te dire s'il se trompe !

Posté par
jsvdbre : Produit 13-02-20 à 18:08

Salut Ramanujan.
La solution que tu proposes me semble bonne.
Ton livre donne quoi ?

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:11

L'exercice est :

Trouver n de la forme 3^p 5^q tel que le produit de ses diviseurs est 45^{42}

Il donne \prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j = 3^{\frac{p(q+1)(p+1)}{2}} 5^{\frac{q(q+1)(p+1)}{2}}

Posté par
jsvdbre : Produit 13-02-20 à 18:18

A bah oui, \prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j , c'est pas pareil que \prod_{i=0}^p 3^i \prod_{j=0}^q 5^j \\

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:19

Je ne comprends pas la différence.

Posté par
jsvdbre : Produit 13-02-20 à 18:21

Il faut mettre les parenthèses :

\prod_{i=0}^p 3^i \prod_{j=0}^q 5^j est supposé être (\prod_{i=0}^p 3^i)( \prod_{j=0}^q 5^j) et non \prod_{i=0}^p (3^i \prod_{j=0}^q 5^j)

Posté par
lionel52re : Produit 13-02-20 à 18:23

t'embête pas et passe au log tu verras rapidement la différence

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 18:25

Tu manipules des produits et pas des sommes petit filou ! Y'a pas de linéarité qui te permette de séparer les produits. Y'a une puissance qui faut ajuster.

\prod_{i,j} a_ib_j = \prod_i\prod_j a_i b_j = \prod_i (a_ib_0\times a_ib_1\times \cdots\times a_i b_q) = \prod_i a_i^{q+1}\prod_j b_j = \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\prod_j b_j

Posté par
carpediemre : Produit 13-02-20 à 18:25

salut

il suffit de savoir que la multiplication est commutative ...

un exercice classique de term spé math ..

Posté par
jsvdbre : Produit 13-02-20 à 18:25

\prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j est un produit portant sur l'ensemble des indices dans [0,p] \times [0,q];

{\red (\prod_{i=0}^p 3^i)}{(\blue \prod_{j=0}^q 5^j)} est le produit du rouge par le bleu;

Prends de petites valeurs de p et q et tu verras.

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:25

ben essaye avec de petites valeurs : p=1 et q=2

le produit écrit dans ton livre est (3050)(3051)(3052)(3150)(3151)(3152)

ce qui n'est pas la même chose que ce que tu calcules : (30 31)(50 51 52)

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:26

grillé ! suis trop lent à taper ... bon on a fait le tour là !

Posté par
jsvdbre : Produit 13-02-20 à 18:29

En éclaté et avec des points de suspension ça donne :

\prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j =3^0 5^0\times \cdots \times 3^p 5^0\times \cdots \times 3^0 5^q\times \cdots \times 3^p5^q

{\red (\prod_{i=0}^p 3^i)}{(\blue \prod_{j=0}^q 5^j)}  = 3^0\times \cdots \times 3^p \times 5^0\times \cdots \times 5^q

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:31

Ulmiere @ 13-02-2020 à 18:25

Tu manipules des produits et pas des sommes petit filou ! Y'a pas de linéarité qui te permette de séparer les produits. Y'a une puissance qui faut ajuster.

\prod_{i,j} a_ib_j = \prod_i\prod_j a_i b_j = \prod_i (a_ib_0\times a_ib_1\times \cdots\times a_i b_q) = \prod_i a_i^{q+1}\prod_j b_j = \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\prod_j b_j


ta dernière égalité me parait douteuse... t'as rien oublié ?

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:31

Ok merci.

Les diviseurs de 3^p sont 3^0, \cdots 3^p

Les diviseurs de 5^q sont 5^0, \cdots 5^q

Comment trouver le produit des diviseurs de 3^p 5^q ?

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 18:32

Oui ! j'ai oublié la puissance p+1. Sinon ce serait pas symétrique de toute façon

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:34

Je n'arrive à faire aucun exercice d'arithmétique pire chapitre pour moi. Tout est trop difficile.  Aucun exercice facile. Je comprends rien

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:34

jsvdb @ 13-02-2020 à 18:29

En éclaté et avec des points de suspension ça donne :

\prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j =3^0 5^0\times \cdots \times 3^p 5^0\times \cdots \times 3^0 5^q\times \cdots \times 3^p5^q

{\red (\prod_{i=0}^p 3^i)}{(\blue \prod_{j=0}^q 5^j)}  = 3^0\times \cdots \times 3^p \times 5^0\times \cdots \times 5^q


Je n'ai pas trop compris le premier produit.

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:35


\prod_{i,j} a_ib_j = \prod_i\prod_j a_i b_j = \prod_i (a_ib_0\times a_ib_1\times \cdots\times a_i b_q) = \prod_i \left( a_i^{q+1}\prod_j b_j \right) = \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\left(\prod_j b_j\right)^{p+1}

il me semble

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 18:35

C'est pas de l'arithmétique ça, c'est du calcul niveau lycée

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:39

Non l'exercice est de l'arithmétique.

Je n'ai pas compris comment on trouve que le produit des diviseurs est

\prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j

Je ne comprends pas exactement comment calculer ce produit ni ce qu'il représente.

Dans le post de jsvdb y a des pointillés j'ai l'impression qu'il manque des termes.

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:41

les diviseurs de 3p5q sont les nombres qui s'écrivent 3i5j avec 0ip et 0jq

c'est comme qui dirait la base des recherches de diviseurs à partir d'une décomposition en facteurs premiers

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:51

D'accord merci je viens de comprendre.

Il faut calculer les produits avec toutes les combinaisons possibles.

Et comment calculer ce produit ?

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 18:53

Pas assez compliqué ? Soit K un corps, pour simplifier. Pour tous deux K-ev X et Y, X\otimes Y \simeq Y\otimes X en considérant l'isomorphisme qui envoie (X\times Y, \otimes) sur (Y\times X, \hat{\otimes}  = (u,v)\mapsto v\otimes u ). On a clairement avec un isomorphisme de K-espaces vectoriels similaire :

\bigotimes\limits_{i,j} K^{a_i}\otimes K^{b_j} \simeq \left(K^{\prod_i a_i}\right)^{\otimes (q+1)} \otimes \left(K^{\prod_j b_j}\right)^{\otimes (p+1)}

Le second est de dimension \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\left(\prod_j b_j\right)^{p+1}
Le premier est de dimension \dim\limits_K \bigotimes\limits_{i,j} K^{a_i}\otimes K^{b_j} = \dim\limits_K \bigotimes\limits_{i,j} K^{a_ib_j} = \prod_{i,j} \dim\limits_K K^{a_ib_j} = \prod_{i,j} a_ib_j.

Par transitivité de la relation de préordre = sur \mathbb{N}...

Est-ce vrai pour les A-modules et leur rang d'après toi ?

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:53

lis les réponses (notamment celle de Ulmière corrigée à 18:35)

et utilises ce que tu avais fait dans un premier temps...

Posté par
carpediemre : Produit 13-02-20 à 18:53

Ulmiere @ 13-02-2020 à 18:35

C'est pas de l'arithmétique ça, c'est du calcul niveau lycée
tout à fait ... et même le cœur du calcul c'est le calcul sur les puissances appris au collège ...

l'arithmétique n'intervient que dans le fait qu'on parle de divisibilité et de diviseurs ...

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:56

Ulmiere là t'exagères, c'est pas charitable... mais ce serait joli sur un obélisque

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 18:56

Je n'ai pas compris comment calculer \prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j

Posté par
matheuxmatoure : Produit 13-02-20 à 18:58

ben lis les réponses, c'est expliqué !

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:00

Je n'ai pas compris les explications.

Posté par
carpediemre : Produit 13-02-20 à 19:00



(3^0 * 5^0 * 3^1 * 5^0 * ... * 3^p * 5^0) * (3^0 * 5^1 * 3^1 * 5^1 * 3^2 * 5^1 * ... 3^p * 5^1) * ... * (3^0 * 5^q * 3^1 * 5^q * 3^2 * 5^q * ... * 3^p * 5^q)

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:04

matheuxmatou @ 13-02-2020 à 18:56

Ulmiere là t'exagères, c'est pas charitable... mais ce serait joli sur un obélisque


Tu peux rajouter un peu de charabia inutile en remplaçant les dimensions par la somme des dimensions de sous-espaces stables d'endomorphismes trigonalisables de ton choix.
Tu peux aussi compliquer en introoduisant les duaux de ces espaces à des indices de ton choix, ou mieux, donnés par les valeurs d'une permuation. Et si c'est pas assez, pourquoi ne pas introduire un groupe ou une algèbre de Lie et étudier sa représentation (contragrédiente, soyons fous) sur tout ce bordel ?
Et quitte à compliquer, pourquoi ne pas quotienter par un idéal bien choisi, histoire de rajouter un prouit extérieur à tout ça ?
Et pourquoi pas aussi lancer un mouvement Brownien dessus quand K est un sous-corps de C ou une variété sympa

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:05

carpediem @ 13-02-2020 à 19:00



(3^0 * 5^0 * 3^1 * 5^0 * ... * 3^p * 5^0) * (3^0 * 5^1 * 3^1 * 5^1 * 3^2 * 5^1 * ... 3^p * 5^1) * ... * (3^0 * 5^q * 3^1 * 5^q * 3^2 * 5^q * ... * 3^p * 5^q)


Pas compris qui est ce produit.

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:06

Les puissances changent de partout j'y comprends plus rien.

Posté par
lionel52re : Produit 13-02-20 à 19:07

Tas du mal avec les produits alors passe au log........

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:08

(en gardant à l'esprit que passer au log, ça ne fonctionne que si le produit est strictement positif, ce qui est le cas ici)

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:10

Je ne vois pas comment passer au log de \prod_{0 \leq i \leq p ,0 \leq j\leq q} 3^i 5^j vu que je ne capte même pas le produit.

En fait ce produit est toutes les combinaisons possibles de produits 3^i 5^j avec i \in [|0,p|] et j \in [|0,q|] ?

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:12

Comment simplifies-tu \prod_{j\in J} (a_j\times x) quand J est un ensemble fini ?

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:14

Ulmiere @ 13-02-2020 à 19:12

Comment simplifies-tu \prod_{j\in J} (a_j\times x) quand J est un ensemble fini ?


x^{card J} \prod_{j\in J} a_j mais je vois pas le rapport avec ici.

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:16

matheuxmatou @ 13-02-2020 à 18:35


\prod_{i,j} a_ib_j = \prod_i\prod_j a_i b_j = \prod_i (a_ib_0\times a_ib_1\times \cdots\times a_i b_q) = \prod_i \left( a_i^{q+1}\prod_j b_j \right) = \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\left(\prod_j b_j\right)^{p+1}


Relis cette formule qui date de 40 minutes sous sa forme corrigée et remplace J et x par ce qu'il faut.

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:21

Merci mais je ne comprends pas le passage :

\prod_i \left( a_i^{q+1}\prod_j b_j \right) = \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\left(\prod_j b_j\right)^{p+1

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:21

Ramanujan @ 13-02-2020 à 19:14

Ulmiere @ 13-02-2020 à 19:12

Comment simplifies-tu \prod_{j\in J} (a_j\times x) quand J est un ensemble fini ?


x^{card J} \prod_{j\in J} a_j mais je vois pas le rapport avec ici.


Littéralement la même chose.

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:30

Je n'arrive pas à comprendre la dernière égalité.

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:33

pchhhrkrkrkrkrkrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
On recommence tout.

Tu fixes i, que vaut \prod_j a_ib_j ?

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:34

On peut sortir le a_i

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:34

J'attends une formule, pas des mots

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:36

\prod_j a_ib_j = a_i \prod_j  b_j  

Posté par
Ulmierere : Produit 13-02-20 à 19:36

Non

Posté par Profil Ramanujanre : Produit 13-02-20 à 19:36

Je ne comprends pas le rapport avec \prod_i \left( a_i^{q+1}\prod_j b_j \right) = \left(\prod_i a_i\right)^{q+1}\left(\prod_j b_j\right)^{p+1

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