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Produit

Posté par
pfff 21-11-20 à 16:13

Bonsoir, j'aimerais de l'aide pour calculer cette somme


P_n = \prod_{k=1}^{2n-1}{(e^{\frac{ik\pi }{n}}- 1)}

merci

Posté par
jsvdbre : Produit 21-11-20 à 16:18

Bonjour pfff.
La démarche classique, quand on sait pas par quel bout prendre prendre ce type de problème, consiste à regarder ce qu'il se passe pour de petites valeurs de n (ici, n>0)

Posté par
pfffre : Produit 21-11-20 à 16:29

pour

n = 1 je trouve Pn = -2

pour n = 2 je trouve Pn = -2

pour n = 3 je trouve Pn = -6

Posté par
jsvdbre : Produit 21-11-20 à 16:37

Le résultat n'a aucun intérêt.
Etale la formule pour n=3 regarde ce qu'il se passe.

Posté par
pfffre : Produit 21-11-20 à 16:59

\large \prod_{k=1}^{5}{(e^{\frac{ik\pi }{3}}-1)} = ( e^{\frac{i\pi }{3}}-1) * ( e^{\frac{i2\pi }{3}}-1)*( e^{\frac{i3\pi }{3}}-1)*( e^{\frac{4i\pi }{3}}-1)*( e^{\frac{i5\pi }{3}}-1)

                          

Posté par
pfffre : Produit 21-11-20 à 17:01

quest ce que je dois remarquer au fait ?

Posté par
pfffre : Produit 21-11-20 à 17:43

Posté par
malou Webmasterre : Produit 21-11-20 à 17:45

Citation :
j'aimerais de l'aide pour calculer cette somme

Posté par
pfffre : Produit 21-11-20 à 17:49

oups pardon ce produit j'ai fait assez de somme. Désolé

Posté par
jsvdbre : Produit 21-11-20 à 18:01

pfff @ 21-11-2020 à 17:01

quest ce que je dois remarquer au fait ?
Il n'y a pas des quantités conjuguées qui apparaissent ?

Posté par
ty59847re : Produit 21-11-20 à 18:17

On parle de Somme.
Donc dans l'énoncé original, ce n'est pas le symbole \Pi, mais le symbole \Sigma
Est-ce que par hasard, tu n'aurais pas fait une autre erreur en recopiant l'énoncé ?
Par exemple, tu aurais peut-être remplacé k=0 par k=1 ?

Admettons que l'énoncé demande bien de calculer la somme de k=1 à 2n-1.
Je te suggère de commencer en disant :

S = ( \Sigma_{k=0}^{k=2n-1} f(k)   )  - f(0)  avec f(k)  = le terme que tu dois sommer.

La première somme devrait être assez facile à calculer.
Surtout que cette première somme, elle ressemble BEAUCOUP à d'autres exercices que tu as déjà faits il y a quelques semaines.

Posté par
jsvdbre : Produit 21-11-20 à 18:19

Le calcul du produit marche très bien aussi. Ça fait un excellent exercice.

Posté par
pfffre : Produit 21-11-20 à 18:39

non c'est le produit que je cherche.
Pour la somme je peux faire

Posté par
XZ19re : Produit 21-11-20 à 18:48

Bonjour

A mon avis il faut  utiliser  z^{2n}-1  dont les racines interviennent dans ton expression.

Posté par
pfffre : Produit 22-11-20 à 09:36

je comprends pas bien

Posté par
carpediemre : Produit 22-11-20 à 09:51

salut

posons w = e^{i \frac {2\pi} {2n}

alors P_n = \prod_1^{2n - 1} (w^k - 1) = (-1)^{2n - 1} \prod_1^{2n - 1} w^k(\bar w^k - 1)

Posté par
pfffre : Produit 22-11-20 à 11:32

oui j'ai compris cela

Comment je dois continuer je dois aboutir à quoi

Posté par
carpediemre : Produit 22-11-20 à 12:06

donc P_n = -1 \left( \prod_1^{2n - 1} w^k \right) \left(\prod_1^{2n - 1} (\bar w^k - 1) \right) = -P_n

sauf erreur ...

puisque les nombres w^k sont les racines du polynome x^{2n} - 1 et que leur conjugué le sont donc aussi ...

mais bon j'ai du dire une con... quelque part puisque C est un corps donc est intègre ...

Posté par
carpediemre : Produit 22-11-20 à 12:10

carpediem @ 22-11-2020 à 12:06

donc P_n = -1 \left( \prod_1^{2n - 1} w^k \right) \left(\prod_1^{2n - 1} (\bar w^k - 1) \right) = {\red (-1) \times (-1)}P_n

sauf erreur ...

puisque les nombres w^k sont les racines du polynome x^{2n} - 1 et que leur conjugué le sont donc aussi ...

mais bon j'ai du dire une con... quelque part puisque C est un corps donc est intègre ...
donc ça ne fait pas avancer le schmilblick ...

Posté par
pfffre : Produit 22-11-20 à 12:16

j'ai pas bien compris

Posté par
XZ19re : Produit 22-11-20 à 13:58

Faut suivre  mon  indication!  La réponse est immédiate.....

Les racines qui interviennent  dans le produit sont  celles

z^{2^n}-1     sauf 1.  


i.e  il s'agit des  racines  de  z^{2*n^-1}+z ^{2*n^-2}+...+1

Posté par
XZ19re : Produit 22-11-20 à 13:59

je  corrige  la faute de frappe  celle  de  z^{2n}-1  


P(z)=1+....+z^{2n-1}

Posté par
pfffre : Produit 22-11-20 à 16:22

je pense que on ne pourra pas avancer avec je vais mettre tout l'enoncé

ENONCE

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On note
      
Q_n = \prod_{k=1}^{n-1}{sin(\frac{k\pi }{2n})}    et    R_n = \prod_{k=1}^{2n-1}{sin(\frac{k\pi }{2n})}


Q-1) A l'aide d'un changement d'indice, montrer que Q_n = \prod_{k=p+1}^{2n-1}{sin(\frac{p\pi }{2n})} et en déduire une relation entre Rn et Qn

A l'aide d'u changement d'indice p = 2n-k je trouve la réponse

et j'obtiens donc que Rn = Qn²


Q-2) Résoudre dans C l'equation (z+1)^{2n}-1 = 0. On notera z_0 la solution nulle, et z_1 , ...... , z_{2n-1} les autres

les solutions de cette equation sont :
z_0 = 0,   z_1 = e^{i\frac{\pi }{n}} - 1 ,  ....... ,  z_{2n-1} = e^{i\frac{\pi (2n-1)}{n}} - 1

Q-3)
z_1 = e^{i\frac{\pi }{n}} - 1
      
          =  e^{i\frac{\pi }{n}} + e^{i\pi }

          = e^{i\pi } ( e^{\frac{1}{n}} + 1 )

z_1   = ( e^{\frac{1}{n}} + 1 ) ( cos \pi + i sin \pi )



z_{2n-1} = e^{i\frac{\pi (2n-1)}{n}}-1

                               = e^{i\pi }(e^{\frac{2n-1}{n}} + 1 )

z_{2n-1}    = ( 1 + e^{\frac{2n-1}{n}})( cos\pi + i sin\pi )



Q-4) On note Pn = \prod_{k=1}^{2n-1}{z_k}
calculer la valeur de Pn

Q-5) Démontre que :  f(n)*R_n + P_n = 0 où f(n) est une expression en fonction de n à déterminer


c'est à partir de 4 je bloque mais vous pouvez aussi corriger ce que j'ai fait merci

Posté par
pfffre : Produit 22-11-20 à 17:15

Posté par
XZ19re : Produit 22-11-20 à 17:19

Non, mais  dis. J'ai donné pratiquement la solution dans mon message de 13:58 13:59.  
Il reste à faire un calcul mental  pour avoir la réponse...

Posté par
Razesre : Produit 22-11-20 à 17:28

Bonsoir,

Si on pose:  P_n (X)= \prod_{k=1}^{2n-1}{(e^{\frac{ik\pi }{n}}- X)}, je pense qu'avec cela tu peux faire la liaison.


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