Bonsoir,
il me semble que si E est un espace métrique fini alors la topologie induite par la distance est toujours la topologie discrète : les singletons sont des ouverts.

Merci Verdurin

Mais au niveau du produit , la topologie discrète coïncide avec la topologie produit ?

Par définition de la topologie produit.

Une remarque quand même :
ta proposition de départ n'est vraie que si on fait le produit d'un nombre fini d'espaces.

Dans ce cas pour démontrer que le produit est séquentiellement compact , il faut prouver que chaque espace muni de la topologie discrète l' est ?

Je crois que j'ai du mal à comprendre ton problème.

Il est évident que tout espace topologique fini est compact : il y a un nombre fini d'ouverts donc de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini.

Mais il est également évident que toute suite infinie a au moins un point d'accumulation.

Oui excuse moi , je vais recopier l'énoncé de mon exercice :

Supposons fini pour tout entier n
On munit de la topologie discrète

Prouver que est séquentiellement compact

Dit comme ça je crois que c'est faux.
Tu ne précises pas sur quel est l'ensemble des indices, mais je dirais volontiers que c'est N.

Si on prend pour tout est donc l'espace   munie de la topologie discrète, on peut considérer la suite définie par est partout nulle sauf à la position
Elle n'a manifestement pas de point d'accumulation pour la topologie discrète.

Oui mais il faut le montrer de manière générale

Il faut montrer quoi de manière générale ?

Que est compact ?

Que est compact ?

La première proposition est vraie, la seconde est fausse.

Que la 1ère proposition que tu as écrite est vraie . Le produit de 0 à n

Alors est un ensemble fini.
Et je te renvoie ici   produit d' espaces métriques pour une démonstration de la compacité.