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Produit de 3 entiers naturels consécutifs

Posté par
Zery 19-09-18 à 16:01

Bonjour,

J'ai un DM de spécialité maths et plus particulièrement d'arithmétique à faire et l'exercice 2 me pose problème :

"Démontrer que le produit de 3 entiers naturels consécutifs est toujours divisble par 6. (on pourra utiliser le raisonnement par récurrence)."

J'ai essayé de résoudre ça par récurrence :

N = n(n+1)(n+2) = n^{3} + 3n²+2n

Initialisation : la propriété est vraie pour n = 0 car 6|0

Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour n = k (donc 6\mid k^{3} + 3k²+2k)
on veut montrer que la propriété est vraie pour n = k +1 (donc 6\mid k^{3} + 6k²+11k+2)

Et à partir de là ça coince. J'ai essayer d'appliquer des propriétés du type c|a et c|b alors c|a+b et c|a-b mais ça ne donne rien. Je sais qu'il faut montrer que c'est égal à 6k (avec k appartenant à Z) mais je n'arrive pas à ce résultat. Comment avancer ? (Nous n'avons vu que la divisibilité dans Z et la division euclidienne).

Posté par
heklare : Produit de 3 entiers naturels consécutifs 19-09-18 à 16:41

Bonjour

pourquoi un raisonnement par récurrence  ?

si vous avez 3 entiers consécutifs  il y en a un forcément pair et un forcément multiple de 3 donc le produit est divisible par 6

Posté par
Zeryre : Produit de 3 entiers naturels consécutifs 19-09-18 à 17:14

Merci pour votre réponse.

Je visualise le fait qu'il y a forcément un nombre pair. Mais comment démontrer qu'il y a forcément un multiple de 3 ?

Vu qu'un nombre pair s'écrit 2k et un nombre impair s'écrit 2k+1 il y a quelque chose à faire avec ces deux écritures, non ?

Posté par
heklare : Produit de 3 entiers naturels consécutifs 19-09-18 à 17:19

prenez les restes de la division par 3
il n'y a que 3 restes possibles 0, 1 ou 2

Posté par
carpediemre : Produit de 3 entiers naturels consécutifs 19-09-18 à 17:33

salut

par récurrence .... même si c'est inutile ...

H(n)  : 6 $ divise $ u_n = n(n + 1)(n + 2)

u_{n + 1}= (n + 1)(n + 2)(n + 3) = u_n + 3(n + 1)(n + 2)

or n + 1 et n + 2 sont deux entiers consécutifs donc ...


de même que tout entier s'écrit 2n ou 2n + 1 il semble évident que tout entier s'écrit 3n ou 3n + 1 ou 3n + 2 (qui sont donc trois entiers consécutifs)

preuve : la division euclidienne


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