Bonjour,
On va être dans de grands nombres!

 Cliquez pour afficher

En observant les factorielles on voit dès 5! un facteur  10
puis tous les 5 un facteur 10 de plus , les produits successifs rajouteront
un autre facteur 10.
Pour obtenir  un carré il faudra un nombre de 0 pair.
Quelques candidats: P11 (8)  P13 (10)   P16 (14)  P18 (16) P21 (20) etc..
Reste à trouver le carré

Suite,

 Cliquez pour afficher

J'ai un petit décalage dans mon décompte de 0.
P8 --->0 000   mais pas de racine
P14---> 000 000 000 000 000 000  mais ? racine
Peut-être qu'avec les congruences ???

Bonjour,

Ma réponse : P vaut

258380491443738574168641752981070171786102150069134385182835
146069750330031496772066782224684692946430225132122199133386
984629635787640090151434863824422001834735119015073408100634
994650274508455197789564882123940962030539829227538812662924
405845024581060769417518767663877768375307978145353616512741
175712975277366446687773303315388152867595678259269345222610
915168729883822847730189073535782464627068244150931618733636
417458047978782318084501035810420451586634947650222161632289
785618973648620732866065138934540560341161625612137570402833
690143651944769142035689179162616004773300603008264293666673
282687724956993344411514776301629476772011433625834329507913
406400608990628577209765452105050715985163747748406664449101
863686198082698697506827354431271060663386424695606081911617
678349516453066045958581869260153516130321958873182606216727
876771070601862574199628046778056913899541811376230340596012
573160882596753298250308647483958282870275076309213548029098
845753514476709965343453646584848162411505975524637888080439
219757112893914236626907609954780443615229708909116718348036
323909332470694358209614179657422142221387674500062710504740
150258159226275599311724070548760702171201565897158287471609
416063611691498738066747343354725218950642387011470079013360
103910714186307598283759143712033468433193278786074254563440
414550664085154088781096659844221597647366297093447864526916
510041559187102444053443033335576209254100129779185353304137
960552101201761076506927021309400236830062565840869659656194
042125622338006921672722318244260980266253222312441642864314
634078999026449554847278918106260145841139860243926516392877
248202996116189898752454560465122972854878295332815244279363
024861523027101445412839528770709388429483410779881671917956
768823860651386611921605601771553227556031465283100154158276
954154013734559015116206970479448490070884936510857079364511
682565740347156794318848600490999527663576071948024428170117
332775735643576049980332099977769411282916655227621618930198
486375824663250133943999296639661452185625443243928611735283
155614911469306495088040642916181328432358148066585300657053
474402711638087790941151663690252904390633900268497018821551
138027501941977331935787677018575835138902368186741460715951
655897654322008842168368355774599019099821833251587490257717
762539325405061649844327943365199453403791797261154287322986
279657536325293799905032510955575700397465020376692970619030
064455035520971043401273668128343525683799547475852742526774
332374388340434197096429029719013331449504694345933874020728
593308873408081214549202181638982221669408230088938036613148
570836287947126303521829029264261223597137052103859744529875
204797967955290487106263234221211702883567241849683300969934
688636441427665880167594588652627460946772850352375822795991
925568682165952802853484519299157819328061115209698942577174
851460917678448795678874961525250205498706382704458871399269
668179712704051092113116009814195200359448360181224141262989
532812294668673233104551360349773061307350836267335675724224
103394898338488698128861144074090802311996710000667345141742
310911059885003127824443343978182011699655310180683986057626
783557857893669928183166124680647189748105935001087030308836
061947673887031476629186951930480786955477399654027679292037
210841100778416739874512883314824696247040809794838159300969
343530556384648960495385378817225453732466623102090436669344
891083343417853015980570617369904272577348318096100780793058
667478142393258064634861812330266134520726707835985113509862
995648798485441549089931504835989531162723873200492289825470
420314135274205093939009016191850184679553288275117637335299
914091123896737284310730994767023686196636730786583252728019
913672098183076795302129892461780102313565975318286533410797
714981220203744093715580349320202775677165174590215533858442
040893209673489582181941471119544963551151097326739310973428
678667877400764978799262823765298332661047110541568514295076
622854876345252265390507030821756841412984301798746425847430
496937533119191573175569804646024305305175216679932475166516
689527013558761302874079411319710553216994760028607057680577
426099953232423273819878109171760342330157441613414713910182
061918539035694613902088456509933925593379618619699577392001
561364446302625550000731504857169182085246631834692475409080
644798283967804163364466285936674537479464865517263209434387
159182248840842920561881887160617756598737725722726418143082
458316951138718876922867496055998759969846474230030497286385
864944496171468528488161885703890496198780573717033829618478
685455514466468919238988316617267405300941117812525872383134
388926504773581800211117850494151431329170190621002486564014
308278027375275935165368837955358876367271661989969511348570
113418504179955819487300049099885436006286087822059775953334
375947929022275431535778115902808508740386867967721665653511
611246774592597459987166699186091189132737549251562429024002
362575412078631116087258008286946609844903224656843028909940
272853774467964907459863165796236838057742588526422026498485
098118704082367939889921611460789820840389796266738609780454
715834408595397690269210813764223536512440421590711509001836
074443225510012054130362449331622094691789276280347753473211
029481764824222329210258415851333325549450681656541943574963
123575653280847477573201456953388449375628009813610385519929
009052036974559181945918263766046013061902610711899585064059
458515444321159741440000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000

On peut vérifier que le produit de ce produit de factorielles d'entiers <99 par la factorielle de 99 est un carré.

Bonjour BGZM,
Ce n'est pas la bonne réponse. Ta réponse ne correspond sans doute pas au plus grand sous-ensemble de E répondant au critère.

Tu penses peut-être à

Pbis =

717723587343718261579560424947417143850283750192039958841208
739082639805643046589074395068568591517861736478117219814963
846193432743444694865096843956727782874264219486315022501763
874028540301264438304346894788724894529277303409830035174790
016236179391835470604218799066327134375855494848204490313169
932536042437129018577148064764967091298876884053525958951696
986579805232841243694969648710506846186300678197032274260101
159605688829950883568058432806723476629541521250617115645249
404497149023946480183514274818168223169893404478159917785649
139287922068803172321358831007266679925835008356289704629648
007465902658314845587541045282304102144476204516206470855315
017779469418412714471570700291807544403232632634462956803060
732461661340829715296742651197975168509406735265572449754493
550970879036294572107171859055981989250894330203285017268688
546586307227396039443411241050158094165393920489528723877812
703224673879870272917524020788773007972986323081148744525274
571537540213083237065149018291244895587516598679549689112331
165991980260872879519187805429945676708971413636435328744545
344192590196373217248928276826172617281632429166840862513167
084050442295209998088122418191001950475559905269884131865581
711287810254163161296520398207570052640673297254083552814889
177529761628632217454886510311204078981092441072428484898445
595974066903205802169712944011726660131573047481799623685879
194559886630840122370675092598822803483611471608848203622605
445978058893780768074797281415000657861284905113526832378316
783682284272241449090895328456280500739592284201226785734207
316886108406804319020219216961833738447610722899795878869103
467230544767194163201262667958674924596884153702264567442675
069059786186392903924554246585303856748565029944115755327657
691177390698296144226682227143203409877865181341944872661880
428205593707108375322797140220690250196902601419047442679199
118238167630991095330135001363887576843266866522290078250325
924377043454377916612033611049359475785879597854504497028329
128821735175694816511109157332392922737848453455357254820230
987819198525851375244557341433837023423217077962736946269592
984451976772466085947643510250702512196205278523602830059864
272298616505492588710521325051599542052506578296504057544310
155271262005580117134356543818330608610616203476631917382549
340387015014060138456466509347776259454977214614317464786072
999048712014704999736201419321043612215180612157480473941750
179041765336030676114649078134287571343887631877368729241039
812151078723428325267858415886148142915290817627594094502023
870302426133558929303339393441617282415022861358161212814301
585656355408684176449525081289614509992047366955165957027431
124438799875806908628508983947810285787686782915786947138707
468434559521294111576651635146187391518813473201043952211088
682135228238757785704123664719882831466836431138052618269930
142946993551246654663541559792361681940851063067941309442415
744943646400141922536433360594986667665134333836733725730526
480034151857425647512642667638258503631530100742599099233955
842763606495801939246836511316918895311101972224075958727061
974752944125008688401231511050505588054598083835233294604518
843216271926860911619905901890686638189183152780797306413433
505410205241754101747741533140224408209659443483410220255658
919003057717824277429202453652290822908446693874550442502692
620918212179580445820514941158959593701296175283584546303735
808564842827369488834918381583067423825967550266946613314051
854105951092383512874616145361850373668685299544403093082952
765691106904004303027587513433304253229788536668034138404084
500872597983903038719469489421806068554314689653104548153610
872475344157603567529808318797288017212879807740509035355610
871311383841879986950360812393833617537683264773018148363326
986058945010400260321056525889452154658792151639487594051227
891370026870804394949837419776513787642086381463164752703968
551855215002124941109063399348050924058464195948801428597435
063485767625700737195852863393769003924956393885406738465084
713715369775532147709916124016734181403264490777590208795879
693130593218781396872442809221418203380541000079464049112715
072499870090064649499661414366000950917104004481707538639394
616440386210262816394690156972038682203832273943609937200004
337123461951737638890920846825469950236796199540812431691890
679995233243900453790184127601873715220735737547953359539964
331061802335674779338560797668382657218715904785351161508562
384213753163107991452409711266663222138462428416751381351071
847068044920745912467116349177473600552168260325093971162440
792931984629080331219411990603520570280391993923682978842039
969240291037727222808660695817087309247694973947229129344484
189661187153544264348246772098219101020199061083248642634916
981718067166543943020277914166348433350794688394610488759262
155410913950765087599383655285579190945519077688115737926421
142352151646104055519907497739142192035382081254340080622228
784931700218419766909050023019296138458064512935675080305389
646816040188791409610731016100657883493729412573394518051347
494774178006577610805337809613305057889971656296496138279040
877317801653882472970030038233954268090112282196420858338433
540120070861144594806562359254505818588303545223188204092252
859671568956173136695162266253703682081807449045949843263786
454376814669020771036670713759412359376744471704473293110913
914033436040442172071995177127905591838618363088609958511276
273654012003221504000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000

Seulement, mon P est 36 fois plus grand que Pbis. En fait ton énoncé est pour le moins ambigu, sinon contradictoire :

Le P que j'ai donné plus haut correspond à un ensemble A de plus petit cardinal que celui du A correspondant à Pbis. mais le P est plus grand que le Pbis.

Donc, quand tu écris "A  le plus grand sous-ensemble de l'ensemble E = {2, 3, 4, ..., N-1} tel que ...  P est le plus grand possible", ça ne va pas !

Dans tes deux réponses, P et Pbis ne sont pas des carrés.
Pour clarifier l'énoncé:
Le nombre demandé est le P le plus grand produit d'un sous-ensemble de E tel que le produit P par 99! est un carré.

Je rectifie: Dans tes deux réponses, P*99! et Pbis*99! ne sont pas des carrés.

Bien sûr que si ce sont des carrés ! Tu penses bien que j'ai vérifié.

Tu devrais vérifier par une autre méthode.
J'ai vérifié avec le prog python suivant:
from math import factorial
#racine carree entiere:
def isqrt(n):
    x=1<<(n.bit_length()+1 >>1)
    while True:
        y=(x + n//x)>>1
        if y>=x:return x
        x=y

p=...
carre= p*factorial(99)
print(isqrt(carre)**2==carre)

qui m'affiche False pour les deux solutions.

Tu as un problème quelque part. Où, je ne sais pas.

Voici la racine carrée de P*factorial(99) :

491056752432857957132733476423794264160902617953847541278990
268496678977915149100045928088559867377635134597773626320871
962049084641639340255255239871258623797115350825893618038337
530381791533735669619805624132206048598741174739186729335921
896152665698637677664143387587129110294910040959736759176024
491751308806212329860183930749557557523549204312435334194558
599908234877158647931615973506080148588790988591711866471775
248863689789728799777148549780170666658135442832807596547390
447232691430215521314279201234189457079947640445613597178886
212726695508390613517072257492741542517916562021031357676031
162956106011152865302881898544516611210367390134029537298179
350634049028628257615379008110470068415328461330170600758986
126083503653607484425202981559539443449945962308627523161649
271943533246165049693316230309303157961732731652465571632121
994154423454104417723255033085553495277738085700700631023399
559401737834917857061818698143299592112045278421981326308300
588466004091402889798005963706912819357075810025696285996330
880315051840882257452636780372208066335492589630076892594510
208730863998908369929151027211552771566064564393654741264223
915890186917273988401899905475085879935613550489922386069431
234181696344260522330281446767057365587602356399033413241336
332877826451161684907607060104585569503089115158404129493696
597647949221889258661973430585258243051703355699127332159739
317872571333773343463954876264724100196286466084355225861034
258301966546778701179707592923612683060655882141054281899659
649459426198438899834673888518928186219212966484143508146604
694504522904864179322656272118211241573763730164697293768733
956908692488688869854200331078892676811088583819254654966005
226291033598146282170789334924028751116218855338072733699217
272733665837130695889647010673469734108997479241045777846989
690234420520016998816504262294093146409001418044062580468858
417952857529991162644807065354440462922055056269768137551322
626852252472545646832041551226372790439872876750195089000855
270877817805620746510827248967697556699212818674398179702726
582234400269618562809527392873732045229954748090586900740976
513048267443563827004191728540045085758802660016495598686976
955749590100448550891833047635272657800265309006051418605166
452356777948427369215220089825729509497712888814342232047570
389707483887710518669739269508171137784207136555840896744580
673469992454908014680348512121575112665225960784556959569260
252587720689784338493486242037426826344720561749701235066174
525315533627378673972194988462553534692431116735322448747800
137362059963803800863316644999049133782567994774792733008836
144362823473418897876585936203283986300851222382963237984196
368866546098228348486174246384577113269053591607839089904220
023988848739977269120413413320159908357776343040000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000

et voici la racine carrée de Pbis*factorial(99) :



818427920721429928554555794039657106934837696589745902131650
447494464963191915166743213480933112296058557662956043868119
936748474402732233758758733118764372995192251376489363397229
217302985889559449366342706887010080997901957898644548893203
160254442831062796106905645978548517158183401599561265293374
152918848010353883100306551249262595872582007187392223657597
666513724795264413219359955843466914314651647652853110786292
081439482982881332961914249633617777763559071388012660912317
412054485717025868857132002056982428466579400742689328631477
021211159180651022528453762487902570863194270035052262793385
271593510018588108838136497574194352017278983556715895496965
584390081714380429358965013517450114025547435550284334598310
210139172756012474042004969265899072416576603847712538602748
786572555410275082822193717182171929936221219420775952720203
323590705756840696205425055142589158796230142834501051705665
932336229724863095103031163572165986853408797369968877180500
980776673485671482996676606178188032261793016709493809993884
800525086401470429087727967287013443892487649383461487657517
014551439998180616548585045352587952610107607322757902107039
859816978195456647336499842458476466559355917483203976782385
390302827240434203883802411278428942646003927331722355402227
221463044085269474846011766840975949171815191930673549156160
996079915369815431103289050975430405086172259498545553599565
529787618889622239106591460441206833660477443473925376435057
097169944244631168632845988206021138434426470235090469832766
082432376997398166391123147531546977032021610806905846911007
824174204841440298871093786863685402622939550274495489614556
594847820814481449757000551798154461351814306365424424943342
043818389330243803617982224873381251860364758896787889498695
454556109728551159816078351122449556848329132068409629744982
817057367533361664694173770490155244015002363406770967448097
363254762549985271074678442257400771536758427116280229252204
378087087454242744720069252043954650733121461250325148334758
784796363009367910851378748279495927832021364457330299504544
303724000449364271349212321456220075383257913484311501234960
855080445739273045006986214233408476264671100027492664478294
926249316834080918153055079392121096333775515010085697675277
420594629914045615358700149709549182496188148023903720079283
982845806479517531116232115846951896307011894259734827907634
455783320758180024467247520202625187775376601307594932615433
754312867816307230822477070062378043907867602916168725110290
875525889378964456620324980770922557820718527892204081246333
562270099939673001438861074998415222970946657957987888348060
240604705789031496460976560338806643834752037304938729973660
614777576830380580810290410640961855448422652679731816507033
373314747899962115200689022200266513929627238400000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000




Chez moi ton test marche. Je ne sais pas pourquoi ça ne marche pas chez toi.

Pour vérification, je te donne la racine carrée de P*factorial(99) :

491056752432857957132733476423794264160902617953847541278990
268496678977915149100045928088559867377635134597773626320871
962049084641639340255255239871258623797115350825893618038337
530381791533735669619805624132206048598741174739186729335921
896152665698637677664143387587129110294910040959736759176024
491751308806212329860183930749557557523549204312435334194558
599908234877158647931615973506080148588790988591711866471775
248863689789728799777148549780170666658135442832807596547390
447232691430215521314279201234189457079947640445613597178886
212726695508390613517072257492741542517916562021031357676031
162956106011152865302881898544516611210367390134029537298179
350634049028628257615379008110470068415328461330170600758986
126083503653607484425202981559539443449945962308627523161649
271943533246165049693316230309303157961732731652465571632121
994154423454104417723255033085553495277738085700700631023399
559401737834917857061818698143299592112045278421981326308300
588466004091402889798005963706912819357075810025696285996330
880315051840882257452636780372208066335492589630076892594510
208730863998908369929151027211552771566064564393654741264223
915890186917273988401899905475085879935613550489922386069431
234181696344260522330281446767057365587602356399033413241336
332877826451161684907607060104585569503089115158404129493696
597647949221889258661973430585258243051703355699127332159739
317872571333773343463954876264724100196286466084355225861034
258301966546778701179707592923612683060655882141054281899659
649459426198438899834673888518928186219212966484143508146604
694504522904864179322656272118211241573763730164697293768733
956908692488688869854200331078892676811088583819254654966005
226291033598146282170789334924028751116218855338072733699217
272733665837130695889647010673469734108997479241045777846989
690234420520016998816504262294093146409001418044062580468858
417952857529991162644807065354440462922055056269768137551322
626852252472545646832041551226372790439872876750195089000855
270877817805620746510827248967697556699212818674398179702726
582234400269618562809527392873732045229954748090586900740976
513048267443563827004191728540045085758802660016495598686976
955749590100448550891833047635272657800265309006051418605166
452356777948427369215220089825729509497712888814342232047570
389707483887710518669739269508171137784207136555840896744580
673469992454908014680348512121575112665225960784556959569260
252587720689784338493486242037426826344720561749701235066174
525315533627378673972194988462553534692431116735322448747800
137362059963803800863316644999049133782567994774792733008836
144362823473418897876585936203283986300851222382963237984196
368866546098228348486174246384577113269053591607839089904220
023988848739977269120413413320159908357776343040000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000

et celle de Pbis*factorial(99) :

818427920721429928554555794039657106934837696589745902131650
447494464963191915166743213480933112296058557662956043868119
936748474402732233758758733118764372995192251376489363397229
217302985889559449366342706887010080997901957898644548893203
160254442831062796106905645978548517158183401599561265293374
152918848010353883100306551249262595872582007187392223657597
666513724795264413219359955843466914314651647652853110786292
081439482982881332961914249633617777763559071388012660912317
412054485717025868857132002056982428466579400742689328631477
021211159180651022528453762487902570863194270035052262793385
271593510018588108838136497574194352017278983556715895496965
584390081714380429358965013517450114025547435550284334598310
210139172756012474042004969265899072416576603847712538602748
786572555410275082822193717182171929936221219420775952720203
323590705756840696205425055142589158796230142834501051705665
932336229724863095103031163572165986853408797369968877180500
980776673485671482996676606178188032261793016709493809993884
800525086401470429087727967287013443892487649383461487657517
014551439998180616548585045352587952610107607322757902107039
859816978195456647336499842458476466559355917483203976782385
390302827240434203883802411278428942646003927331722355402227
221463044085269474846011766840975949171815191930673549156160
996079915369815431103289050975430405086172259498545553599565
529787618889622239106591460441206833660477443473925376435057
097169944244631168632845988206021138434426470235090469832766
082432376997398166391123147531546977032021610806905846911007
824174204841440298871093786863685402622939550274495489614556
594847820814481449757000551798154461351814306365424424943342
043818389330243803617982224873381251860364758896787889498695
454556109728551159816078351122449556848329132068409629744982
817057367533361664694173770490155244015002363406770967448097
363254762549985271074678442257400771536758427116280229252204
378087087454242744720069252043954650733121461250325148334758
784796363009367910851378748279495927832021364457330299504544
303724000449364271349212321456220075383257913484311501234960
855080445739273045006986214233408476264671100027492664478294
926249316834080918153055079392121096333775515010085697675277
420594629914045615358700149709549182496188148023903720079283
982845806479517531116232115846951896307011894259734827907634
455783320758180024467247520202625187775376601307594932615433
754312867816307230822477070062378043907867602916168725110290
875525889378964456620324980770922557820718527892204081246333
562270099939673001438861074998415222970946657957987888348060
240604705789031496460976560338806643834752037304938729973660
614777576830380580810290410640961855448422652679731816507033
373314747899962115200689022200266513929627238400000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000

Autre chose : tu n'as pas éclairci ta question. Cherches-tu le plus grand produit de factorielles ou bien l'ensemble A de plus grand cardinal ?

Je cherche le plus grand produit de factorielles.

Alors c'est P.

Vous pensez bien que je n'ai pas poursuivi ma recherche de nombre pairs de 0...
j'ai vite vu que le résultat serait impressionnant  voir P de GBZM.

bilbo à la prochaine....déconfinée

Il  est clair que c'est hors de portée d'un tableur.

J'ai une autre solution. Elle est environ 10^156 fois plus grande que ta première solution.

A = E - {2, 5, 7, 11, 47, 97}

 Cliquez pour afficher

P = 241136734109905149201276678681797305628406368430985719775680942082877285236858934787907524102561849826064779094572412546686916419600613097601556783021287919807537408076072243322245980533127825283853398096897228815442306039281984985632279219064821460831280071275035247417512769386037263325350391798673327960946312162700075708505164616626224202213065311905489468873786321451569380374901323521404111831240818396061245390884335278480357402097205375822905856076306235885568004295296578894137477208193828788363331479091869472646276272768613982987896422964455902073706015260812672156498581311789203312487866071203533628612950032398454086908208506847440646658405334533383659196699161119192346759947456503575673830681039963520091745068724314685497476723606245406166749245571002322062640792327917258082835153074429803001504784857692700966491880871549468857276730746249902407191445107798492414734218934141743529450312164832982730345037951716878229233819101070193294691135427673010462696480507780435068439180149207757933336268315792467836210430167669237272963845783861822027711838473917697185077573137193343813872577749366223179208783000996356607361414244591089458506360070635718425416695397848729210844828438725670984043126014606029903295666068883376787569156394039576285449263987572557682281570558451069823969976874649172562325214164013555421678025660425779763135146103120907635121705296338445264704413865712334334175654929188375983147991480609507177413382044545955806166452965204311418371483474875442266930570435126280802144575964361363444080812642380730296557724752543543425394348703499731433040804006030079290134939497192141373145631116371917309867423307752161331655937552757583185091821030070123188611475999152535617470435036730355868749221164052164571491916760749396681781018315525905487378784640401785342443292254158704925109531664366107450834224291064208009379805337461744379313423405782755987464694927558712890212442003498087015200509704004649296209539948429575438827237703461649600334813725054042945854948797853793392521665152803104728851956903108496715497150846617393561326345396737999284554862646188869493113601716344727843337978773747270568807419118483636328427425261792557555180209207456819094427902889784411430014476349033793636099680221756842318164822340772320440898240229895272580467932920404808255070394901930535356312989882621539342004490788102001369730451967158638950913033630120561781454761991976053010734241514950805655730022427729032849679826363134914639958601763632750750388624647632593945284690270767292618804803542512963468694067894012960156860082876987746486724315673881345595951856298036910114343163123151836443854624388900044018911982872617581095380760258462434839796922994237860181784425537121397785828636179854008667210454476600785719875095213174899265051083785738480148975489236793979441680789189368091021610420092452588342685016971133887324256767179027291229861596563096038909296847246873311848557621119009182158620353230091165154183523803875534842675848556522294669450197656465239506979863184195199579996038996018481602861396286308088564204999305865923145244208653792265707496213929945963587605703968186735564309715649273818903786153012181077296485469061464552828083335267684129513397315819305597835836734529168184376906017784723140572777105278437215122744356249185585753177085202815622882012748822250382741199032914739804299471826088800283573798567884278772454579011681355408545571804906554223080310706599503791310187362796877515037947089559477831339920491392305711356608719650043474699594919912929794797642748493186963634787711767036611073424936555211045162936738547190938212095326747351096710301602557083119740651495458177670898426281872079690301955545722876917494521886066379733608441352964423233710592337008654751692896373087587489706373279410149163783311058135317530300770362742198942530536437594293976844170389258294642833429395667569866874227226951524688035353831267736182956675483350111622934618728656933165106180664952121057058670936989219058589273660222948931679191722221975608076307316487961544487466529247012461752269412269190268919209626551544249077076830495091129585926069978777583043458908227501995827160622709720316656164511755936600758439588101617176750473500458327212588559670961935265980347839674843792170204199027004652934616738340459122962923647725228259371297672915484025811497726443576296531078596810712093136907999849988189723465161757820725820288756382425473690999255315170465423927748873664725983106637767600580690548426963841972202842515280995062730583881108657348894770426841108843552193072545686830810823709457741954282154572674535134405384294742737990741256267061784653746006360657967658363718365669966795770055140760005304463510433378418456460056338226254616795297523019988637058358530872456932126734246428005967338935827410118673600595546990040672098114026785616801286441183708520915510319940020729743164116727062228542511662269032845030732025534936523498471528574849438000626708002627438631808531760380402703717827116823853027733934826327763398217778925984292190428706631403197958191954185465811542795331456342337841142472747409261014863553698049491272198197593622344100221141294014534636673071438129979440970947704877324121613760177732709202636551403881699196801185916832273614802859180005964392255820070576012114314116094417007036861426991728904068748922788886566862567623174666387946678391231592805570954350015417337169541824077303798564185540970596799317265336360999168290628479244203589531725955849231551870137312529592279075756441600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

 Cliquez pour afficher

from collections import Counter


def solve(n):
    """ Find the a_k such that 1 < a_0 < a_1 < ... < n and n! * prod a_k! is a square. """
    factorials = get_factorial_factorization_up_to(n)

    def find_solution(max_k, factors, a_ks):
        if any(exponent % 2 != 0 and factor > max_k for factor, exponent in factors.items()):
            return
        if max_k <= 1:
            yield a_ks, factors
            return
        yield from find_solution(max_k - 1, factors + factorials[max_k], (max_k,) + a_ks)
        yield from find_solution(max_k - 1, factors, a_ks)

    solution, factors = next(find_solution(n-1, factorials[n], ()))
    print(solution)
    print(sorted(set(range(2, n)) - set(solution)))
    print("*".join(f"{factor}**{exponent}" for factor, exponent in factors.items()))
    ans = 1
    for factor, exponent in factors.items():
        ans *= factor ** exponent
    print(ans)


def get_factorial_factorization_up_to(n):
    """ Get the factorization of the factorial of the numbers from 0 to n """

    numbers = [Counter() for _ in range(n+1)]
    factorials = [Counter(), Counter()]

    for p in range(2, n+1):
        if len(numbers[p]) == 0:
            pp = p
            while pp <= n:
                for m in range(pp, n+1, pp):
                    numbers[m][p] += 1
                pp *= p
        factorials.append(factorials[-1] + numbers[p])

    return factorials


if __name__ == "__main__":
    for n in (9, 99):
        solve(n)

C'est tout à fait à la portée d'un tableur à condition de garder la notation factorisée tout du long.

@dpi
Il ne faut pas juste regarder le nombre de zéros.
Il faut plutôt regarder la parité des puissances des facteurs premiers.

Bonjour littlefox,

Mon P est fabriqué avec le même ensemble A.
Alors, qu'est-ce qui cloche ?

Ce qui cloche c'est que j'ai inclus N! dans P. Erreur de ma part
J'ai bien la même réponse que ton premier P

bilbo a peut-être fait la même erreur vu son commentaire:

je répète l'énoncé du problème:

1)  le produit P des factorielles de tous les ak par la factorielle de N est un carré;

donc c'est le produit P*99! qui est un carré

Oui, et donc on a maintenant deux avis convergents : le P qui est le plus grand est celui que j'ai indiqué plus haut.
Alors, bilbo ?

Présomption:
P+1  est premier

La valeur de P que tu as trouvé n'est pas la bonne.

@bilbo
On est deux à l'avoir trouvée quand même
N!P est bien un carré puisque que tous les exposants sont pairs dans sa factorisation.
Tu as une valeur plus grande pour P?

@dpi
Même pas
Par le test de test de primalité de Miller-Rabin on peut montrer que P+1 n'est pas premier en utilisant le témoin 2.