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Produit de matrice

Posté par
MeriemAe 29-04-11 à 22:12

Bonjour , j'ai quelques difficultés en ce qui concerne les matrices.
Mon exercice est le suivant

A=  ( 2 5 -3 )
      3 -1 4
et B= ( 1 2 3  )
         5 -1 1

on note O la matrice nulle de dimension 3 x 3 ( ne comportant que des zéros) et l3 la mtrice unité de dimension 3 x 3
calculer les matrices
a) A x O et O x A
b) A x l3 et l3 x A
c) A x B et B x A que peut on constater


Merci d'avance je n'y comprend vraiment rien

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 29-04-11 à 22:45

Salut!

Tu peux dire exactemente ce que tu ne comprends pas? Sais-tu comment multiplie-t-on des matrices?

Johnny

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 30-04-11 à 21:23

Non pas vraiment je sais faire des multiplication simple du style : ( 1 2 3 )
avec (1
      2
      3)
mais le O me genes je ne vois pas vraiment ce qu'il faut faire

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 30-04-11 à 21:26

Et surtout le "au cube" --'

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 30-04-11 à 21:47

Salut!

Supposons que nous avons deux matrices de $3 \times 3$ (3 rangées, 3 colonnes)

A = \[ \left( \begin{array}{ccc} \\ a & b & c \\ \\ d & e & f \\ \\ g & h & i \end{array} \right)\]

et

B = \[ \left( \begin{array}{ccc} \\ m & n & p \\ \\ q & r & s \\ \\ t & v & w \end{array} \right)\]

La multiplication de A \times B est donnée par:

A \times B = \[ \left( \begin{array}{ccc} \\ am + bq + ct & an + br + cv & ap + bs + cw \\ \\ dm + eq + ct & dn + er + fv & dp + es + fw \\ \\ gm + hq + it & gn + hr + iv & gp + hs + iw \end{array} \right)\]

Si tu essaies de faire B \times A, tu verras que tu n'obtiendras pas le même resultat. AUtrement dit, la multiplication de matrices n'est pas commutative.

La matrices A et B ne sont pas forcément carrées et des mêmes dimensions.

En général, si A est une matrix de dimensions m \times n, B doit être de dimensions n \times t, et le résultat sera une matrix de dimensions m \times t. C'est à dire, pour multiplier deux matrices il faut que le nombre de colonnes de la première matrix soit égal au nombre de rangées de la seconde.

Par exemple, si A est 3 \times 2 et B est 2 \times 5

on pourra faire A \times B.

Par contre, on ne pourra pas faire B \times A ( dimensions  2 \times 5, 3 \times 2, et 5 3)

Johnny

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 30-04-11 à 23:26

Donc si jai une matrice qui A=
(1  3  2
0  5  1
1  0  2 )

et B=
(-3
  2
-4)
A x B n'est pas possible?

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 30-04-11 à 23:40

Dans l'exemple original, il est possible de faire A \times B mais pas B \times A.

Pour

A=
(1  3  2
0  5  1
1  0  2 )

et B=
(-3
  2
-4)

Je te demande: B est un colonne? Si oui, A \times B, c'est possible, mais pas B \times A

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 30-04-11 à 23:42

Oui B est une colonne
je comprend pas comment on peut faire ! --'
moi jaurai fais
1*-3+ 3*2 + 2*-4
mais apres je ne vois pas

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 30-04-11 à 23:52

A a pour dimensions 3 \times 3

B a pour dimensions 3 \times 1

Donc A \times B, c'est possible et le résultat sera 3 \times 1, donc une colonne.

A \times B = 1*-3+ 3*2 + 2*-4
                        
                        0*-3+ 5*2 + 1*-4

                        1*-3+ 0*2 + 2*-4


Johnny

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 30-04-11 à 23:58

Jadditionne le tous ? jai pas compris ! je suis un cas desesperé je crois
le resultat dois fait un seul et meme nombre?

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 01-05-11 à 00:04

Mais non!
= \\ \left( \begin{array}{ccc} \\ 1*-3+ 3*2 + 2*-4 \\ \\ 0*-3+ 5*2 + 1*-4 \\ \\ 1*-3+ 0*2 + 2*-4 \end{array} \right)

= \\ \left( \begin{array}{ccc} \\ -3 + 6 -8 \\ \\ 0 + 10 -4 \\ \\ -3 + 0-8 \end{array} \right)

= \\ \left( \begin{array}{ccc} \\ -5 \\ \\ 6 \\ \\ -11 \end{array} \right)

Johnny

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 01-05-11 à 00:25

Mais le 0 on le sort d'ou ?

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 01-05-11 à 00:38

suis-je bete cest l'enoncé mille pardons!!

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 01-05-11 à 00:42

Et si j'ai uune matrice a 2 ligne et une autre a deux colonnes
par exemple
A=(3 -1
    2 -3)

et B=
(1  3
3  2 )

cela fera
3*-1 + -1*3
2*1 + -3 * 3
3*3 + -1*2
2* 3 + -3*2

totalisant ainsi 4 nombre en reponse ?

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 01-05-11 à 00:48

Si A est 2 \times 2 et B est aussi 2 \times 2, alors A \times B est aussi 2 \times 2

Effectivement, ils seront 4 nombres, mais arrangés en deux lignes et 2 colonnes.

Johnny

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 01-05-11 à 01:47

JAI COMPRIIIIIIIS  Merrciiiiiiiiii =D
il y a juste un hiic pour faire
dans un exercice Quelconque B x A
il ne devrait rien avoir de changer
puisque
par exemple
2 x 1 = 2 et 1 x 2 = aussi 2

Posté par
MeriemAere : Produit de matrice 01-05-11 à 01:49

l'ordre dans lequel jai mis mes chiffre au dessu est-il bon?

Posté par
jtorresmre : Produit de matrice 01-05-11 à 08:48

Attention!!!!

Si A est de dimensions, par exemple, 4 \times 1 et B est de dimensions 2 \times 2, elles NE PEUVENT ETRE MULTIPLIEES. On ne calcule pas 4 \times 1 = 2 \times 2.

Si on va multiplier A \times B, on observe le nombre de colonnes de la première matrix (pour A, dans l'occurrence, c'est 1) et le nombre de lignes de la deuxième (pour B, c'est 2). Comme 12, on ne peut pas faire A \times B.

Dans cet exemple, B\times A ne peut pas être calculée non plus car le nombre de colonnes de B (qui est égal à 2) est aussi différent du nombre de lignes de A (4).

D'autres cas:

A est 4\times 1 et B est 1\times 2: Oui! Et le resultat sera une matrix 4\times 2.

A est 2\times 3 et B est 3\times 1: Oui! Et le resultat sera une matrix 2\times 1.

A est 4\times 1 et B est 1\times 5: Oui! Et le resultat sera une matrix 4\times 5.

A est 1\times3 et B est 3\times 1: Oui! Et le resultat sera une matrix 1\times 1 (une matrix avec un seul nombre).

A est 2\times 2 et B est 3\times 2: Non! Car 2 n'est pas égal à 3, mais l'inverse oui.  B 3\times 2 et A est 2\times 2, ett le resultat sera une matrix 3\times 2.

Pour ton exemple,

A=(3 -1
    2 -3)

et B=
(1  3
3  2 )

A \times B = \left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 2 & -3 \\ \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\\end{array}\right)

= \left(\begin{array}{ccc} 3\times 1\hspace{10 mm} +\hspace{10 mm} (-1)\times 3\hspace{20 mm} & 3\times 3\hspace{10 mm} +\hspace{10 mm} (-1)\times 2 \\ 2\times 1\hspace{10 mm} +\hspace{10 mm} (-3)\times 3\hspace{20 mm} & 3\times (-1)\hspace{10 mm} +\hspace{10 mm} 2\times (-3) \\ \end{array} \right)

= \left(\begin{array}{ccc} 0\hspace{20 mm} & 7 \\ -7\hspace{20 mm} & -9 \\ \end{array} \right)

La matrix \bigcirc est une matrix de la taille que tu voudras avec tous ses elements égaux à zéro.

Par exemple

\bigcirc = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\
\bigcirc = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\
etc.

La matrix, I, aussi appelée la matrix Identité, est une matrix carrée de n'importe quelles dimensions, avec des uns dans la diagonal principale (haut en bas, de gauche à droite), et zéros dans toutes les autres positions.

Exemple:

I = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\

I = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \\
etc.

Johnny


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