Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Produit de matrices
Bonjour,
J'ai un exercice en spécialité maths et je bloque sur une question depuis 2 jours... 
Soit la matrice carrée A = (1 1 1 0) (le zéro est en bas à gauche)
On cherche un réel x tel qu'il existe une matrice colonne non nulle V telle que AV=xV.
a. Montrer que AV=xV ⇔ (A-x*I2)V=matrice nulle 2×1
En déduire que A-x*I2 n'est pas inversible.
b. Quelles sont les valeurs possibles λ et µ de x.
En résolvant une équation du second degré, je trouve λ=(1+√5)/2 et µ=(1-√5)/2.
c. Déterminer 2 matrices colonnes V et W non proportionnelles, telles que AV=λV et AW=µW.
J'ai beau chercher, résoudre des systèmes, rien n'y fait, la seule chose que je trouve parfois est que V ou W est la matrice nulle ce qui est impossible, donc je n'arrive pas à trouver. 
Merci d'avance pour votre aide 😊
Les valeurs et
que tu as trouvées sont exactes. Tu obtient pour chacune d'elles un système où les deux équations sont équivalentes (donc il n'y a à tenir compte que d'une seule).
Par exemple pour ta valeur tu obtiens le système
Il est facile de voir que si tu multiplies la deuxième équation par tu retrouves la première.
Il te faut donc trouver x et y tel que Tu as une infinité de choix. [tex](x,y)=(2,\sqrt{5}-1[)/tex] convient.
D'accord, c'est le système que j'avais au début mais le fait que substituer X par Y ou Y par X n'aboutissait pas (, du fait que c'est en fait la même équation) me dérangerais.
Je suppose que c'est le même raisonnement pour trouver W.
Merci pour votre aide en tout cas 👍
Désolé, j'ai une autre petite question. Il est ensuite demandé d'en déduire la matrice diagonale D et la matrice carrée C telle que A=CPC^-1 puis de monter que A^n=CP^nC^-1.
Pour la deuxième question, je pense que je peux le faire par récurrence, mais je ne vois comment déduire de V et W les matrices C et D.
Merci d'avance
Sinon, en faisant un peu de recherches, j'ai trouvé que que P pourrait être la matrice carrée telle que la première colonne serait la matrice V et la deuxième W.
Ainsi, on aurait A=PDP^-1 ⇔ D=PAP^-1, et on trouve au final D=I2.
Est-ce bien correct ?
Merci
Quelqu'un pourrait m'aider svp (même si vous n'êtes pas sûr), je dois rendre ce devoir très rapidement et cette question me bloque sur tout le reste.
Bonsoir,
Si tu n'as pas encore vu ce qu'est une base c'est bien difficile.
Tout vecteur U du plan s'exprime de façon unique sous la forme U=aV+bW, a et b étant 2 réels.
Son transformé par A, sera AU=aAV+bAW=a
V+b
W
Donc dans la base (V,W), les coordonnées de AU sont (a,b), dont tu peux déduire la matrice diagonale cherchée.
Annuler
connectez vous