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Produit de matrices nul
Bonjour,
Je me demandais :
Si A et B sont deux matrices non nulles et AB = 0 alors A et B ne sont pas inversibles. Est-ce vrai ?
Autrement dit, si par exemple A est inversible et B est non nulle alors le produit AB est non nul.
Est ce que l'on peut écrire : car A n'est pas la matrice nulle.
Merci 
Ah non, en fait si X non nulle et P inversible alors on pose P^-1 X = A d'où X= PA non nul donc det A non nul donc A non nulle.
Bonsoir,
Suppose que soit inversible. Donc, par définition, il existe une matrice
tel que
avec
la matrice identité.
Ainsi, "en multipliant l'équation" par
on trouve
. D'où:
et donc
. C'est absurde car par hypothèse
.
En revanche, ta dernière ligne est fausse. Prends et
.
C'est surprenant car dans les réels (ou les complexes) on a bien la propriété suivante: si et
alors
(pour
des réels ou des complexes). Mais, comme tu viens de le constater avec l'exemple que je t'ai indiqué, cette propriété est fausse pour les matrices. Il faut donc faire attention lorsque l'on manipule des matrices.
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