Niveau Maths sup

Produit de tangentes

Posté par dilzydils (invité) 21-12-05 à 12:31

Bonjour,
Cela fait 1h que je cherche à résoudre cet exo mais en vain:
A= produit pr k variant de 1 à 2n des tan(k*Pi/(2n+1))
Merci de votre aide

Posté par danskala (invité)re : Produit de tangentes 21-12-05 à 14:00

Salut,

qu'entends-tu par "résoudre cet exo" ? Quelle est la consigne précise ?

Posté par re : Produit de tangentes 21-12-05 à 14:04

Bonjour dilzydils;
Au topic Produit de sin on a déjà établit que $\fbox{(\forall n\ge2)\\S_n=\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}}$ on a donc $\fbox{(\forall n\ge1)\\S_{2n+1}=\Bigprod_{k=1}^{2n}sin(\frac{k\pi}{2n+1})=\frac{2n+1}{2^{2n}}}$ je te propose d'utiliser la methode que j'ai explicité en ce topic pour calculer $\fbox{(\forall n\ge2)\\C_n=\Bigprod_{k=1}^{n-1}cos(\frac{k\pi}{n})}$ et comme ça tu auras $\fbox{(\forall n\ge1)\\\Bigprod_{k=1}^{2n}tan(\frac{k\pi}{2n+1})=\frac{S_{2n+1}}{C_{2n+1}}}$
Sauf erreurs...

Posté par re : Produit de tangentes 21-12-05 à 14:06

On a $4$\tan$\frac {k\pi}{2n+1}$ =\frac{\frac {e^{i\frac {k\pi}{2n+1}}-e^{-i\frac {k\pi}{2n+1}}}{2i}}{\frac{e^{i\frac {k\pi}{2n+1}}+e^{-i\frac {k\pi}{2n+1}}}{2}}\;=\;-i\,\frac{e^{i\frac {2k\pi}{2n+1}}-1}{e^{i\frac {2k\pi}{2n+1}}+1}\;=\;i\,\frac{1-\xi_k}{1+\xi_k}$

où $\xi_k=e^{i\frac {2k\pi}{2n+1}}$ désigne la k° racine (2n+1)° de l'unité.

$3$\array{\Bigprod_{k=1}^{2n}\tan$\frac {k\pi}{2n+1}$ & = & \Bigprod_{k=1}^{2n}$i\,\frac{1-\xi_k}{1+\xi_k}$ \\ & = & i^{2n}\;\;\frac{\Bigprod_{k=1}^{2n}$1-\xi_k$}{\Bigprod_{k=1}^{2n}$1+\xi_k$} \\ & = & (-1)^n\;\;\frac{\Bigprod_{k=1}^{2n}$1-\xi_k$}{(-1)^{2n}\Bigprod_{k=1}^{2n}$-1-\xi_k$}$

Si on considère le polynôme $3$\red P_n(X)=X^{2n+1}-1=\Bigprod_{k=0}^{2n+1}$X-\xi_k$$

On montre que
$3$ \blue \Bigprod_{k=1}^{2n}$1-\xi_k$=P^'_n(\xi_0)=(2n+1)(1)^{2n}=2n+1$
et que
$3$ \blue \Bigprod_{k=1}^{2n}$-1-\xi_k$=\frac{P_n(-1)}{-1-\xi_0}=\frac{(-1)^{2n+1}-1}{-1-1}=1$

Donc
$4$\red \Bigprod_{k=1}^{2n}\tan$\frac {k\pi}{2n+1}$ =(-1)^n\,(2n+1)$