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Produit et factorielle

Posté par
Ptit-Louis 18-09-11 à 11:31

Bonjour à tous,
J'ai un problème avec ceci :
Je dois démontrer cette égalité :
n-1k=1 (2k+1) = (2n)! / 2n n!

Si quelqu'un peut m'aider pour le début ...
J'ai essayé de développer l'expression, de passé devant le produit le facteur 2n-1 ...
Mais je me perds un peu dans mes calculs je crois
Merci d'avance !

Posté par
Arkhnorre : Produit et factorielle 18-09-11 à 11:34

Bonjour.

Pars plutôt du terme de droite, et écris les factorielles sous formes de produit. Simplifie la fraction et regarde ce qui reste.

Posté par
Arkhnorre : Produit et factorielle 18-09-11 à 11:36

Une précision : quand tu écris en produit le terme (2n)!, met d'un côté les termes pairs, et de l'autre les termes impairs. Le facteur 2^n va se simplifier grâce aux termes pairs.

Posté par
Ptit-Louisre : Produit et factorielle 18-09-11 à 11:49

Alors ça me donne :
\frac{(2n)(2n-1)...(2n-(n-1))}{2^n}
C'est bon ?
Et trier pairs et impairs ça donne deux facteurs 2n/2 qui se simplifient ! C'est ça  ?
(Merci de votre aide )

Posté par
Ptit-Louisre : Produit et factorielle 18-09-11 à 12:38

Mais je ne vois vraiment pas comment clore mon calcul ...
Personne ne peut m'aider ?

Posté par
Ptit-Louisre : Produit et factorielle 18-09-11 à 15:26

Ah vraiment personne ?

Posté par
Arkhnorre : Produit et factorielle 18-09-11 à 15:48

Il vaut mieux trier les pairs et les impairs avant de simplifier par n!. Une fois le tri effectué, on simplifie le facteur 2^n grâce aux termes pairs, et ensuite, avec ce qui reste des termes pairs, on peut simplifier par n!
A la fin, il ne reste que les termes impairs, juste ce qu'on souhaitait.

Posté par
Ptit-Louisre : Produit et factorielle 18-09-11 à 15:55

Merci beaucoup !

Posté par
Bidersteinre : Produit et factorielle 18-09-11 à 16:21

bonjour
\large \prod_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 3*5*7*9*...*(2n-3)*(2n-1) \\                   =  \frac {1*2*3*4*5*6*7*...*(2n-3)*(2n-2)*(2n-1)*2n}{2*4*6*...*(2n-2)*2n} \\                   =  \frac{(2n)!}{2^n (1*2*3*...*(n-1)*n)} \\                   =  \frac{(2n)!}{2^n n!}

Posté par
Bidersteinre : Produit et factorielle 18-09-11 à 16:22

bonjour
\large \prod_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 3*5*7*9*...*(2n-3)*(2n-1) \\                   =  \frac {1*2*3*4*5*6*7*...*(2n-3)*(2n-2)*(2n-1)*2n}{2*4*6*...*(2n-2)*2n} \\                   =  \frac{(2n)!}{2^n (1*2*3*...*(n-1)*n)} \\                   =  \frac{(2n)!}{2^n n!}

Posté par
Ptit-Louisre : Produit et factorielle 19-09-11 à 14:44

Merci à tous ! J'ai bien avancé dans mon exo mais je retombe sur un os avec ceci :
Il faut encore une fois démontrer cette égalité :
\prod_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k} = \frac{(n+1)!}{2n}

Si vous pouvez m'aider au moins pour le début car je n'arrive pas à commencer le calcul
Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit et factorielle 19-09-11 à 14:48

Bonjour

RECURRENCE!

Posté par
Ptit-Louisre : Produit et factorielle 19-09-11 à 15:14

Hum pas de problème pour l'initialisation mais pour l'hérédité, que faire du (n+1)ème facteur ? Puisque c'est bien lui qu'il faut extraire du produit non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit et factorielle 19-09-11 à 15:35

Si tu supposes la propriété vraie, pour passer à n+1 tu multiplies le tout par
\dfrac{(n+1)^2-1}{n+1}=\dfrac{n(n+2)}{n+1}

Le second membre devient

\dfrac{(n+1)!}{2n}\times \dfrac{n(n+2)}{n+1}=\dfrac{(n+2)!}{2(n+1)}

après simplification par n

Posté par
Camélia Correcteurre : Produit et factorielle 19-09-11 à 16:49

D'ailleurs, le premier exo marchait aussi bien par récurrence! mais la méthode directe proposée par Arkhnor (que je salue ) a le mérite d'être très pédagogique pour bien comprendre les factorielles.


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