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Produit et puissances de matrices

Posté par
Salome28 12-03-16 à 17:53

Bonjour, j'ai un sujet de spé, en voici le sujet :
Pour tout entier naturel n non nul, on définit :
Un =(3+22)^n
1) Montrer que l'on peut écrire les premiers termes de la suite (Un) sous la forme:
U1 = a1+b12, U2=a2+b22, u3=a3+b33,
où les nombres aj et bj sont des entiers.

2) Montrer par récurrence sur n que Un s'écrit sous la forme
(Les n et n-1 sont en indice)
Un=a2+b22 où an et bn sont des entiers vérifiant les relations de récurrence : an=3an-1 + 4bn-1  et bn =2an-1 + 3bn-1.

3) On désire écrire un algorithme dont l'entrée est un entier naturel n non nul et dont la sortie est constituée des valeurs de an et bn.
Un élève propose l'algorithme suivant :

Entrée : n entier naturel non nul
Traitement :
a prend la valeur 3
b prend la valeur 2
Pour j allant de 1 à n
a prend la valeur 3a+4b
b prend la valeur 2a+3b
Fin pour
Sortie: afficher a et b

Proposer une modification de cet algorithme permettant d'obtenir les valeurs annoncées.

J'ai finis la question 1) en remplaçant n  par la valeur, j'ai donc trouvé !
a1 = 3-22
a2=17+172
a3=99+702

En suite question 2, ça bloque..

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 17:59

(La suite du sujet porte sur les matrices en elles mêmes, le début est une "amorce", j'essaye de trouver une moyen d'écrire les matrices.

Posté par
Glapion Moderateurre : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 18:48

Mais pour l'instant on ne te demande pas d'écrire des matrices.
tu as montré par récurrence que les Un s'écrivaient Un=an+bn2 ?

Posté par
mathamorere : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 19:25

Bonsoir,

la récurrence est évidente; dans le programme, il faut rentrer n et faire varier j de 1 à n-1.
Et il faut utiliser 2 variables temporaires. Voir exemple.

1   VARIABLES
2     a EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     n EST_DU_TYPE NOMBRE
5     j EST_DU_TYPE NOMBRE
6     c EST_DU_TYPE NOMBRE
7     d EST_DU_TYPE NOMBRE
8   DEBUT_ALGORITHME
9     LIRE n
10    a PREND_LA_VALEUR 3
11    b PREND_LA_VALEUR 2
12    POUR j ALLANT_DE 1 A n-1
13      DEBUT_POUR
14      c PREND_LA_VALEUR 3*a+4*b
15      d PREND_LA_VALEUR 2*a+3*b
16      a PREND_LA_VALEUR c
17      b PREND_LA_VALEUR d
18      FIN_POUR
19    AFFICHER a
20    AFFICHER b
21  FIN_ALGORITHME

Résultats
***Algorithme lancé***
Entrer n : 4
577
408
***Algorithme terminé***

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 19:35

Non en fait pour l'instant je bloque sur la question 2), celle de récurence

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 19:50

J'ai regardé et compris l'algorithme.
Faut il écrire obligatoirement a EST_DU_TYPE NOMBRE etc. oubien faut il laisser l'algorithme sous la forme qui est donnée dans l'énoncé, c'est à dire sans donner le type des lettres choisies?

Posté par
mathamorere : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 19:56

????

Hypothèse: u_n =a_n+b_n\sqrt 2

u_{n+1}=(a_n+b_n\sqrt 2)(3+2\sqrt 2)=(3a_n+4b_n)+(2a_n+3b_n)\sqrt 2;  il n'y a qu'à l'écrire!!!

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 20:07

moi j'ai : Un=(3+22)

Donc pour la récurence :
1) : Pour n=1
u1=(3+22)^1 = (3+22)
P1 vraie

2)On suppose que la propriété est vraie pour un certain rang n c'est à dire Un=(3+22) (H.R.)

Et c'est là que je bloque..
Parce que dans la partie 2 de récurrence que tu m'as montré, je ne vois pas  à quoi sert la partie d'énoncé "où an et bn sont des entiers vérifiant les relations de récurrence : an=3an-1 + 4bn-1  et bn =2an-1 + 3bn-1."
Mais en meme temps je ne vois pas comment l'utiliser

Posté par
mathamorere : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 20:26

Non! u_1=3+2\sqrt 2 et u_n=(3+2\sqrt 2)^n.
L'hypothèse de récurrence est u_n=a_n+b_n\sqrt 2 où a_n et b_n sont 2 entiers. Après on passe au rang n+1 (on peut aussi travailler avec les rangs n-1 et n; c'est pareil)

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 20:39

euh oui Un=an+bn2 pour la HR, mais du coup je vois pas

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 20:42

Du coup on part de Un=an+bn2
Pour Un+1 ca nous ferait :
Un+1 = an+1 + bn+12
=3an + 4bn +2an +3bn
=5an + 7bn

Mais je vois pas de an+1 + bn+12

Posté par
Glapion Moderateurre : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 21:35

oui presque mais il y a un 2

Un+1 = (an+bn2 )(3+22) = 3an+4bn+ (3bn+2an)2

donc c'est bien de la forme an+1+bn+12

et on peut dire que :
an+1 = 3an + 4bn
bn+1 = 2an + 3bn
là on commence à la voir la matrice que tu cherchais : \begin{pmatrix} 3 &4 \\ 2& 3 \end{pmatrix}

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 22:14

Euh pour l'instant il n'y a pas la question de matrice, je vais l'écrire

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 22:19

Définir une matrice A telle que pour tout entier naturel n2, on ait:
(an                    A(an-1
bn)    =                  bn-1)

5) Soit P= (22  -22
                         2                                                 2)
et Q= 1/8(2       2
                        -2     2)
a) établir que P et Q sont des matrices inverses l'une de l'autre
b) vérifier que la matrice QAP est une matrice diagonale D
6) Déduire de ce qui précède une expression des éléments la matrice A^n en fonction de l'entier naturel non nul n
7) Soit n un entier naturel non nul
Etablir l'égalité an = 1/2[(3-22)^n +(3+22)^n]

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 12-03-16 à 22:21

En fait je ne vois pas d'où vous partez pour obtenir :
Un+1 = (an+bn2 )(3+22)

Posté par
Glapion Moderateurre : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 13:03

Par définition Un=(3+22)n
et donc Un+1=(3+22)n+1 =(3+22)n(3+22)=Un(3+22)=(an+bn2)(3+22)

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 14:20

Ah voilà merci, c' est au moment de remplacer Un=(3+22)^n que j' ai eu un bug..
Du coup pour la question 5)a), notre matrice A est celle que tu as eecris plus haut.
Petite question, comment on écrit les matrices sur le forum?

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 14:21

La 4)a) pardon

Posté par
Glapion Moderateurre : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 14:50

Citation :
comment on écrit les matrices sur le forum?

tu as un bel assistant d'écriture LaTex à la droite de la barre d'édition.

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 16:42

Définir une matrice A telle que pour tout entier naturel n2, on ait:
\begin{pmatrix} an\\ bn \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_{n-1}\\ a_{n} \end{pmatrix}

Soit P= \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} &-2\sqrt{2} \\ 2& 2 \end{pmatrix}

et Q= 1/8 \begin{pmatrix} \sqrt{2} &2 \\ -\sqrt{2}& 2 \end{pmatrix}

a) établir que P et Q sont des matrices inverses l'une de l'autre
b) vérifier que la matrice QAP est une matrice diagonale D
6) Déduire de ce qui précède une expression des éléments la matrice A^n en fonction de l'entier naturel non nul n
7) Soit n un entier naturel non nul
Etablir l'égalité an = 1/2[(3-22)^n +(3+22)^n]

J'ai réécris l'énoncé,
Pour la 4)a), la matrice A= \begin{pmatrix} 3 &4 \\ 2&3 \end{pmatrix}
pour la 5)a), on a pas encore vu comment on fait les matrices inverses mais je vais essayer de regarder dans le livre comment on s'y prend afin de montrer Q = 1/P

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 17:06

J'ai tenté de faire l'inverse grace à la résolution de stystème, le problème c'est que je trouve ceci :
1/P = \begin{pmatrix} 1/4\sqrt{2}&0.5 \\ -1/4\sqrt{2}& 0 \end{pmatrix}
Pourriez vous me dire si vous tombez bien sur le résultat attendu?

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 17:36

en réalité c'est pour b et d que ca coince, voici mon système:
22b-2d = 0
d= -b+0.5

22b-2(-b+0.5) = 0
d= -b+0.5

42b - 2= 0
d= -b+0.5

b= 1/8
d= -1/8 +0.5 = 3/8

je ne vois pas mon erreur

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 18:07

2/8 pour b *
ce qui fait d = 0.5-2/8  = 1/4 = 2/8

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 18:11

Donc c'est bon pour ma question a)
question b) je trouve QAP =  \begin{pmatrix} 3+2\sqrt{2} &0 \\ 0& 3-2\sqrt{2} \end{pmatrix}  donc c'est bien une diagonale D

Question 6) je ne vois absolument rien.. auriez vous une idée?

Posté par
mathamorere : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 18:55

D^n=QA^nP, donc  A^n=PD^nQ

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 13-03-16 à 19:37

Ah d'acc c'était si simple..
question 7 j'ai tenté des calculs mais cela n'a pas aboutit non plus..

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 14-03-16 à 18:40

Peut être en auriez vous une idée?

Posté par
Salome28re : Produit et puissances de matrices 15-03-16 à 17:51

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