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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Produit et somme d'idéaux

Posté par
Arthur68329
22-11-22 à 08:37

Bonjour, j'ai un problème sur une exercice :

Soient I,J deux idéaux de A un anneaux :
Montrer que "I union J est un idéal" est équivalent à "I inclus dans J ou J inclus dans I" est équivalent à "I union J = I + J"
Est ce que l'implication :
"I inclus dans J ou J inclus dans I" implique "I union J = I + J" est immédiate?
En fait je ne vois pas comment démontrer, par exemple A = Z , I = 2Z et J = 4Z , 4Z 2Z et 4Z + 2Z = 2Z = 4Z union 2Z

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 10:11

Bonjour,
As-tu vu que la somme de deux idéaux est le plus petit idéal qui contient la réunion des deux ?
Si on numérote 1, 2, 3 les trois propriétés dans l'ordre où elles sont énoncées, l'équivalence entre 1 et 3 découle immédiatement de ce que j'ai rappelé ci-dessus.
2 entraîne 1 est assez évident. Pour boucler la boucle, je te conseille de démontrer que 3 entraîne 2 par contraposition, autrement dit de montrer que si on n'a pas 2, alors on n'a pas 3.

Posté par
Arthur68329
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 10:22

Non ce n'est pas dans mon cours, ou du moins ce n'était pas explicité même si ça parait assez évident. Merci cordialement.

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 10:58

Avec plaisir.

Posté par
Arthur68329
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 14:58

Je reviens vers vous, pour une vérification :

Si on suppose I n'est pas inclus dans J et J n'est pas inclus dans I.
Il existe i ( resp. j) qui appartient à I (resp. J) et qui n'appartient pas à J (resp I). Si on considère x = i + j qui appartient à I + J . Mais x n'appartient pas à I union J : CQFD

C'est bon ?

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 15:01

As-tu vraiment besoin d'être rassuré ? Alors écris explicitement pourquoi x n'appartient pas à I\cup J.

Posté par
Arthur68329
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 15:11

x = i + j , i n'appartient pas à J donc x n'appartient pas à J, de même j n'appartient pas à I donc x non plus. Donc il n'y a aucune raison que x appartiennent à l'union.

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 15:28

J'écrirais plutôt : si x\in I alors j=x-i\in I, absurde ; si x\in J alors i=x-j\in J, absurde.

Posté par
Arthur68329
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 15:41

Oui, c'est mieux, ça rappelle la preuve pour les unions de sous groupes...
Dernière question, plus loin dans l'exercice, on à la question :
montrer que IJ est inclus dans I inter J,  et donner un exemple dans lequel cette inclusion est stricte.

La preuve se fait rapidement mais pour l'exemple je sèche, je ne pense pas qu'il y en ai un pour les ideaux de Z, à voir. Est ce que vous auriez une idée ? merci

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 16:12

Si si, il y a dans l'anneau des entiers. Pense aux opérations arithmétiques correspondant à l'intersection et au produit des idéaux.

Posté par
Arthur68329
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 16:21

8Z et 12Z fonctionnent ils ?

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 16:40

Ben, essaie !

Posté par
Arthur68329
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 16:48

Je trouve bien ; 8Z x 12Z = 96Z et 8Z inter 12Z = 24Z ;l'inclusion est stricte ma question était plutot

Posté par
GBZM
re : Produit et somme d'idéaux 22-11-22 à 18:28

plutôt quoi ?



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