Bonjour,
As-tu vu que la somme de deux idéaux est le plus petit idéal qui contient la réunion des deux ?
Si on numérote 1, 2, 3 les trois propriétés dans l'ordre où elles sont énoncées, l'équivalence entre 1 et 3 découle immédiatement de ce que j'ai rappelé ci-dessus.
2 entraîne 1 est assez évident. Pour boucler la boucle, je te conseille de démontrer que 3 entraîne 2 par contraposition, autrement dit de montrer que si on n'a pas 2, alors on n'a pas 3.

Non ce n'est pas dans mon cours, ou du moins ce n'était pas explicité même si ça parait assez évident. Merci cordialement.

Avec plaisir.

Je reviens vers vous, pour une vérification :

Si on suppose I n'est pas inclus dans J et J n'est pas inclus dans I.
Il existe i ( resp. j) qui appartient à I (resp. J) et qui n'appartient pas à J (resp I). Si on considère x = i + j qui appartient à I + J . Mais x n'appartient pas à I union J : CQFD

C'est bon ?

As-tu vraiment besoin d'être rassuré ? Alors écris explicitement pourquoi n'appartient pas à .

x = i + j , i n'appartient pas à J donc x n'appartient pas à J, de même j n'appartient pas à I donc x non plus. Donc il n'y a aucune raison que x appartiennent à l'union.

J'écrirais plutôt : si alors , absurde ; si alors , absurde.

Oui, c'est mieux, ça rappelle la preuve pour les unions de sous groupes...
Dernière question, plus loin dans l'exercice, on à la question :
montrer que IJ est inclus dans I inter J,  et donner un exemple dans lequel cette inclusion est stricte.

La preuve se fait rapidement mais pour l'exemple je sèche, je ne pense pas qu'il y en ai un pour les ideaux de Z, à voir. Est ce que vous auriez une idée ? merci

Si si, il y a dans l'anneau des entiers. Pense aux opérations arithmétiques correspondant à l'intersection et au produit des idéaux.

8Z et 12Z fonctionnent ils ?

Ben, essaie !

Je trouve bien ; 8Z x 12Z = 96Z et 8Z inter 12Z = 24Z ;l'inclusion est stricte ma question était plutot

plutôt quoi ?