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produit interieur

Posté par
milton
22-09-22 à 23:03

bonjour a tous

j'amerais comprendre  la notion de produit interieur d'une forme differntielle par un champ de vecteur. Aidez moi s'il vous plait les bonnes volontes.
concretement comment calcul t on le produit interieur d'une forme diffentielle   \alpha=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_idx^i   par un champ [  tex]X=\sum\limits_{i=1}^nX^i[/tex]?
j'ai beau lu je n'y comprends rien. Des exemple seraient les bienvenus.
Merci beaucoup.

Posté par
GBZM
re : produit interieur 23-09-22 à 10:11

Bonjour,
Si tu es sur un ouvert U de \mathbb R^n avec une 1-forme différentielle \alpha et un champ de vecteurs X, le produit intérieur \iota_X(\alpha) est tout simplement la fonction \alpha(X) : U\to \mathbb R. En coordonnées, si \alpha=\sum_{i=1}^n a_i(x) \, dx_i et X=\begin{pmatrix}X_1(x)\\\vdots\\ X_n(x)\end{pmatrix}, alors pour tout x\in U :

\large \iota_X(\alpha)(x)=\sum_{i=1}^n a_i(x)X_i(x)\;.

Posté par
milton
re : produit interieur 23-09-22 à 19:13

Bonjour
Merci beaucoup pour votre reponse.
j'ai compris votre explication et elle est claire. Maintenant  on pose
L_X\alpha=d(i_X\alpha)+i_Xd\alpha,  et on me demande de montrer que   L_{X_1}i_{X_2}-L_{X_2}i_{X_1}=i_{[X_1,X_2]}  . Et c'est la que je ne me retrouve plus, je 'arrive meme pas a donner un sens a l'expression  L_{X_1}i_{X_2}.
Veuillez m'aider s'il vous plait.

Posté par
GBZM
re : produit interieur 23-09-22 à 21:34

{\alpha} est toujours une 1-forme ?

Posté par
milton
re : produit interieur 23-09-22 à 22:22

oui, c'est toujours 1-forme

Posté par
GBZM
re : produit interieur 23-09-22 à 23:05

Tu as là une définition de la dérivée de Lie. Mais comment t'est défini le crocher de Lie [X_1,X_2] ?
Je risque de ne pas revenir pendant le week-end. Si quelqu'un d'autre veut prendre le relais ...

Posté par
milton
re : produit interieur 25-09-22 à 11:11

bonjour
Excusez moi pour avoir pris si long, j'etais un peu occupe.
le crochet de lie de deux champs X et Y est le champ [X,Y]_j=\sum\limits_{i=1}^n X_i\frac{\delta Y_j{\delta x_i}-Y_i\frac{\delta X_j}{\delta x_i}. Merci.

Posté par
milton
re : produit interieur 25-09-22 à 11:13

bonjour
Excusez moi pour avoir pris si long, j'etais un peu occupe.
le crochet de lie de deux champs X et Y est le champ  [X,Y]_j=\sum\limits_{i=1}^n X_i\frac{\delta Y_j{\delta x_i}-Y_i\frac{\delta X_j}{\delta x_i}. Merci.

Posté par
GBZM
re : produit interieur 26-09-22 à 09:23

Tu voulais écrire
  \large [X,Y]_j=\sum\limits_{i=1}^n X_i\dfrac{\partial Y_j}{\partial x_i}-Y_i\dfrac{\partial X_j}{\partial x_i} ?
[X,Y]_j=\sum\limits_{i=1}^n X_i\dfrac{\partial Y_j}{\partial x_i}-Y_i\dfrac{\partial X_j}{\partial x_i}

Posté par
GBZM
re : produit interieur 26-09-22 à 10:57

La formule qu'on te demande de vérifier ne serait-elle pas plutôt L_XL_Y-L_YL_X=L_{[X,Y]} ?

Posté par
milton
re : produit interieur 26-09-22 à 11:29

Bonjour
oui c'est ce que je voulais ecrire, merci.
Mias concernant ce qu'on demande de montrer,  c'est plutot ce que j'avais enonce plus haut.
Mais  la demonstration ce que vous enoncez peut me permettre de prouver ce qui m'a ete demande.

Posté par
GBZM
re : produit interieur 26-09-22 à 14:56

Hum, ça m'étonne beaucoup.
Mais mène le calcul, et tu verras qu'il y a un os.
Pour mener le calcul, si \alpha est une 1-forme, \iota_{X_2}\alpha est une 0-forme, autrement dit une fonction f, et L_{X_1}f est la dérivée directionnelle, à savoir \sum_i(X_1)_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}.

Posté par
milton
re : produit interieur 26-09-22 à 17:30


bonjour
vous voyez un peu mon probleme?
Mais alors poouvez vous me corriger l'enonce? et m'aider a la resoudre?
Merci.

Posté par
GBZM
re : produit interieur 26-09-22 à 21:55

Peux-tu montrer ce que tu obtiens, d'une part en calculant ( L_X\iota_Y-L_Y\iota_X)\alpha, d'autre part en calculant \iota_{[X,Y]\alpha ? Tu as tous les éléments pour le faire.
Par ailleurs je t'ai indiqué plus haut une identité qui, elle, est vraie. Tu as aussi tout ce qu'il faut pour la vérifier.



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