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Produit peu sympathique

Posté par
Jezebeth
11-07-18 à 18:33

Bonjour

Je cherche à simplifier \prod_{k=0}^{n-1}\frac{k!^4}{(2k)!(2k+1)!}.

WolframAlpha me dirige du côté de la fonction G de Barnes mais j'ai l'impression qu'on ne simplifie pas grand-chose en l'utilisant (puisqu'un produit analogue intervient dans la définition).

Des idées ?

Pour info, c'est le déterminant de la matrice de taille n de terme général 1/(i+j-1), sauf erreur de calcul de ma part.

Posté par
verdurin
re : Produit peu sympathique 11-07-18 à 19:39

Bonsoir Jezebeth.

Je ne vois pas comment simplifier, mais j'ai le vague souvenir d'avoir vu passer la matrice de terme général 1/(i+j-1) au cours de mes études.

Elle doit avoir un nom, et il y a sans doute des résultats à son sujet.

Posté par
Jezebeth
re : Produit peu sympathique 11-07-18 à 19:47

Merci verdurin de ta réponse.
Tout à fait, c'est la (une ?) matrice d'Hilbert. J'ai trouvé :

Mais leur récurrence me rend un peu triste, surtout qu'on peut arriver assez facilement au produit que je cherche à simplifier.

Posté par
Jezebeth
re : Produit peu sympathique 12-07-18 à 00:04

Contournement (un peu bourrin) trouvé :
le calcul du déterminant de tg \frac{1}{a_i+b_j} est un exo classique.

Je suis cependant toujours totalement preneur si quelqu'un a une méthode algébrique pour simplifier ce démoniaque produit.

Posté par
Jezebeth
re : Produit peu sympathique 12-07-18 à 23:35

Bonsoir, je doute très sérieusement qu'il y ait une autre écriture que celle avec les superfactorielles (et, plus encore, un moyen algébrique de s'y ramener). Vous pouvez fermer ce topic.

Posté par
Jezebeth
re : Produit peu sympathique 13-07-18 à 00:02

Rectif :

Citation :
(et, plus encore, un moyen algébrique de s'y ramener


ceci est faux bien sûr. Se ramener aux superfactorielles à partir du produit est chose peu ardue.

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