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Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très difficile)

Posté par
GoldenSilver
09-10-09 à 16:18

Salut, je bloque sur une question :
Voici l'énoncé :
"On considère un triangle ABC tel que AB=AC=5 et BC = 6
On désigne par I le milieu de [BC]

1-Déterminer l'ensemble E = {M P tel que MA² + 3MI² = 44}
2-Sois G le centre de gravité de ce triangle, et soit f : P ;
M \vec{MB}.\vec{MC} \frac{-2}{3}.\vec{AI}\vec{MG}
a- Calculer f(A) et f(G).
b-Montrer que pour MP, f(M) = MG² + f(G).
c- Déterminer suivant le réel k, l'ensemble E tel que E_k={M P tel que f(M) = k; k

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici 09-10-09 à 16:50

Bonjour,

Si tu places ton triangle dans un repère bien choisi (par exemple, origine en I et A sur l'axe des ordonnées), les coordonnées de MA et MI sont simples.

Indice pour le 1 : on trouve un cercle (sauf erreur)

Posté par
GoldenSilver
J'ai trouvé 12-10-09 à 00:49

J'ai demandé à mon prof de maths, il m'a tout expliqué.

Au cas où vous voulez la correction, envoyez moi un MP.

Posté par
phymath
re : Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici 07-06-17 à 06:18

s'il te plait tu peux m'expliquer je voudrais bien savoir comment on va le résoudre

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici 07-06-17 à 10:24

Bonjour,

le pseudo de GoldenSilver est en vert, ça veut dire qu'il, s'est désinscrit de l'ile, il ne risque pas de te répondre !
godefroy_lehardi peut être (il fréquente toujours l'ile apparemment même s'il y semble peu actif)

réveiller une discussison de 2009 risque de passer inaperçu, tu aurais eu plus de chance de créer une discussion nouvelle
mais bon, maintenat que cette discussion est réveillée, ne le fais pas (ce serait du multipost) on va poursuivre dans cette discussion-ci.

godefroy_lehardi proposait d'utiliser un repère et des coordonnées, pourquoi pas.

Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici

on peut tout à fait faire sans :

MA² + 3MI² = 44
soit le point de (AI) tel que \vec{\Omega A} + 3\vec{\Omega I} = \vec{0}

on peut alors décomposer \vec{MA}^2 + 3\vec{MI}^2 = \left(\vec{M\Omega}+\vec{\Omega A}\right)^2 + 3\left(\vec{M\Omega}+\vec{\Omega I}\right)^2

développer et simplifier pour obtenir \|\vec{M\Omega}\| = \text{constante}
ce qui prouve l'affirmation de godefroy_lehardi

avec utilisation des coordonnées on obtient presque instantanément (en deux lignes) l'équation du lieu
qui s'avère être une équation de cercle dont on peut alors chercher les coordonnées du centre et le rayon à partir de cette équation

Posté par
carpediem
re : Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici 07-06-17 à 12:15

salut

PM = constante est aussi l'équation d'un cercle ... entièrement déterminée géométriquement ... donc est une équation géométrique  

introduire un repère pour obtenir une équation cartésienne de ce cercle n'a guère d'intérêt ... sauf quand on ne sait pas le faire géométriquement

mais il est tellement plus riche de le faire géométriquement ... pour réviser son cours de collège et pour travailler la géométrie et le produit scalaire ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici 07-06-17 à 13:12

Bonjour carpediem,

j'ai donné l'approche géométrique pour la question 1
le problème de cette approche est qu'elle nécessite suffisamment d'imagination (ou de culture sur les barycentres ) pour avoir l'idée d'introduire le point Ω que j'ai cité.
évidemment c'est "bien plus joli" !

l'avantage de l'approche algébrique est qu'elle ne nécessite que l'imagination d'un légume : on fait mécaniquement les calculs.
cette approche (algébrique) est donc à conseiller si on manque d'imagination pour une méthode géométrique,
ou si on est extrêmement pressé (examen) pour ne pas avoir envie de chercher "longtemps" un cheminement géométrique qu'on ne trouve pas soi-même instantanément.
le risque est de se planter dans ces calculs (ici ça va, ils sont très simples et s'écrivent directement en une ligne.
la deuxième ligne est pour le simplifier.
et une troisième pour la mettre sous forme canonique et obtenir les coordonnées du centre et le rayon
le nombre effectif de lignes dépend de son habileté à effectuer des calculs algébriques
si on met déja 4 lignes pour développer et simplifier (a-b)² ça rallonge d'autant.

Bien entendu pour la question 2 on peut faire pareil (décomposition des vecteurs "astucieusement" et développement etc, ou bien calculs algébriques dans le repère)

en tout cas la première partie de la question 2 se fait en remplaçant formellement M par A pour obtenir f(A) et M par G pour obtenir f(G)
que ce soit géométriquement ou pas.

Géométriquement on est amené à définir G de façon vectorielle par

\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} (définition)

ou puisque \vec{XB} + \vec{XC} = 2\vec{XI} quel que soit le point X et I milieu de [BC] : \vec{GA}+ 2\vec{GI} = \vec{0}

Posté par
mathafou Moderateur
re : Produit scalaire [2ème exercice] (un peu long, très diffici 07-06-17 à 13:18

PS : pour la méthode algébrique on remarque l'existence du "fameux triangle rectangle 3, 4, 5" et donc les coordonnées de A immédiatement
sinon son ordonnée est à calculer explicitement (Pythagore) en une ou quelques lignes supplémentaires.
(AB = AC donne immédiatement que ABC est isocèle et donc l'abscisse de A = 0 est évidente)



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