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Produit scalaire

Posté par Tatooz (invité) 24-02-05 à 16:22

Une fois de plus, le produit scalaire me gêne...
Pourriez vous m'aider sur cet excercice, me donner des pistes pour que j'essaie de trouver les réponses par moi-même svp ?
Voici l'énoncé :

Soit un triangle ABC. On note A', B', C' les projetés orthogonaux respectifs des sommets A, B, C sur les droites (BC), (CA), (AB) et H l'orthocentre du triangle ABC.

1. Démontrer les égalités suivantes :
a. BC² + AH² = CA² + BH² = AB² + CH²
b. \vec{HA}.\vec{HB} = \vec{HB}.\vec{HC} = \vec{HC}.\vec{HA} = \vec{HA}.\vec{HA'} = \vec{HB}.\vec{HB'} = \vec{HC}.\vec{HC'}

2. App. numérique : on donne BC = 8, HB = 6, HC = 4.
a. Construire le triangle ABC.
b. Calculer les longueurs AB et AC.

Voilà, merci d'avance, ce serait super si j'pouvais obtenir de l'aide pour la première question, qui m'aidera pour la deuxième


Posté par Tatooz (invité)re : Produit scalaire 24-02-05 à 17:07

Up
Aidez-moi svp...

Posté par
Nightmarere : Produit scalaire 24-02-05 à 18:19

Bonjour

Voici déja pour le premier :

\rm\begin{tabular} BC^{2}+AH^{2}&=&\(\vec{BA}+\vec{AC}\)^{2}+\(\vec{AB}+\vec{BH}\)^{2}\\&=&BA^{2}+2\vec{BA}.\vec{AB}+\vec{AC}^{2}+AB^{2}+2\vec{AB}.\vec{BH}+BH^{2}\\&=&2AB^{2}+AC^{2}+BH^{2}-2\vec{AB}.\vec{AC}+2\vec{AB}.\vec{BH}\end{tabular}

Or :
\rm\begin{tabular} 2AB^{2}-2\vec{AB}.\vec{AC}+2\vec{AB}.\vec{AC}+2\vec{AB}.\vec{BH}&=&2\vec{AB}.\(\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BH}\)\\&=&2\vec{AB}.\(\vec{AH}+\vec{CA}\)\\&=&2\vec{AB}.\vec{CA}\\&=&\fbox{\vec{0}} (car (CH)\perp(AB) )\end{tabular}

On en déduit :
BC^{2}+AH^{2}=AC^{2}+BH^{2}+\vec{0}
ie
\fbox{BC^{2}+AH^{2}=AC^{2}+BH^{2}

De maniére analogue , on montrera le reste de l'égalité

Je me penche sur le deuxiéme (et oui , je suis encore novice dans les produits scalaires )


Jord

Posté par
Nightmarere : Produit scalaire 24-02-05 à 18:40

Re

Voici pour le deuxiéme

\rm\begin{tabular}\vec{HA}.\vec{HB}-\vec{HB}.\vec{HC}&=&\vec{HB}.\(\vec{HA}-\vec{HC}\)\\&=&\vec{HB}.\vec{CA}\\&=&\vec{0}\end{tabular}
donc :
\vec{HA}.\vec{HB}=\vec{HB}.\vec{HC}

De maniére analogue :

\rm\begin{tabular}\vec{HB}.\vec{HC}-\vec{HC}.\vec{HA}&=&\vec{HC}.\(\vec{HB}-\vec{HA}\)\\&=&\vec{HC}.\vec{AB}\\&=&\vec{0}\end{tabular}
donc :
\vec{HB}.\vec{HC}=\vec{HC}.\vec{HA}

et encore :
\rm\begin{tabular}\vec{HC}.\vec{HA}-\vec{HA}.\vec{HA'}&=&\vec{HA}.\(\vec{HC}-\vec{HA'}\)\\&=&\vec{HA}.\vec{A'C}\\&=&\vec{0}\end{tabular}
donc
\vec{HC}.\vec{HA}=\vec{HA}.\vec{HA'}

Ect ..
Je crois que tu as compris le truc

Je te laisse essayer de faire l'application


Jord

Posté par Tatooz (invité)re : Produit scalaire 25-02-05 à 15:34

Merci beaucoup pour toi aide Nightmare!

Posté par
Nightmarere : Produit scalaire 25-02-05 à 15:36

De rien


Jord


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