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Produit scalaire

Posté par Marie123 (invité) 27-03-05 à 12:59

Bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice sur les produits scalaires:
Dans un repère orthonormal ( O ; i ; j ), on donne le point A de coordonnées (3 ;4). Sur la perpendiculaire en A à ( OA) , on prend les points B et C symétriques par rapport à A tels que le triangle EOC soit équilatéral. Le but de l'exercice est de trouver les coordonnées de B et C.
1/ a) Calculez OA et démontrez que AB = (5V3)/3
 Vecteur OA a pour coordonnées (3 ;4) . On a donc
 OA = Racine ( xoa² + yoa²)
       = Racine ( 3² + 4²)
       = Racine (9 + 16)
       = Racine ( 25)
       = 5

Ensuite, pour AB je n'ai pas trouvé mais, voici mon raisonnement :
Vc OA . Vc OB = OA * OB * cos PI/6
                          = 5 * x * Racine (3)/2
                          = 5Racine ( 3) x / 2

Ensuite, on a AB² = Vc AB² = (Vc AO + Vc OB)²
                                      = AO² + 2 Vc AO. Vc OC + OB²
                                      = 5² + 2*5Racine ( 3) x / 2 + x²
                                      = 25 + 5Racine ( 3) x  + x²
                                      = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Voilà ce que j'ai essayé de faire…

b) Déduisez-en que, trouver les coordonnées de B et C, revient à trouver les vecteur n de norme 5Racine(3)/3
Là non plus je n'ai pas compris.

2/a) Trouvez les vecteurs n
   b)Déduisez - en les coordonnées de B et C.

Voilà , je suis bloquée et je n'arrive plus à avancer , pouvez vous indiquer la marche à suivre ?

Merci d'avance !

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 29-03-05 à 20:39

svp pouvez vous me repondre
ca devient vraiment stressant
Merci

Posté par misterfreeze67 (invité)re : Produit scalaire 29-03-05 à 21:15

bien pour ta question 1)a) utilise la relation a/sinA = b/sin B = c/sinC soit ici AB/sin 30° = 5/sin60°

Posté par misterfreeze67 (invité)re : Produit scalaire 29-03-05 à 21:21

et la réponse est bien de 5racine de 3/3

Posté par misterfreeze67 (invité)re : Produit scalaire 29-03-05 à 21:26

pour la B) c'est aussi simple comme AB = AC = 5racine de 3/3 ca correspond bien à la norme du vecteur AC et AB soit n

Posté par misterfreeze67 (invité)re : Produit scalaire 29-03-05 à 21:42

bien ensuite je ne suis pas sur mais il me semble ke ||n|| = |k| x ||OA||
soit 5V3/3 = |k| x 25
donc |K| = V3/15

   Or nous savons ke OA a pour coordonnés (3;4) et donc que n a pour coordonnées (-4 x k ; 3 x k )soit (-4V3/15 ; V3/5) et je te laisse faire le reste

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 16:11

euh, je n'ai pas reussi a trouver le 5V3/3 ?
Mais on a bien : AB/sin 30° = 5/sin60°  
D ou AB= 5*sin30/sin60
       = (5*racine3/2 )/ 1/2
       = (5 V3 /2) * 2  
       = 5 V3

Voila ce que je trouve, il y a t-il une erreur de calcul?

Merci d'avance!

Posté par claireCW (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 16:23

Le triangle BOC équilatéral, et B symétrique de A par rapport à C, , situé sur la prependiculaire à (OA) passant par A, ca veut aussi dire que AB = 1/2 BC, que OB = OC = BC, et que le triangle ABO est rectangle en A.

Posté par claireCW (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 16:57

Mais on a bien : AB/sin 30° = 5/sin60°  
D ou AB= 5*sin30/sin60
       = (5*racine3/2 )/ 1/2
       = (5 V3 /2) * 2  
       = 5 V3
Si je reprends ton calcul, le problème, c'est que sin 30 = 1/2, et sin 60 = V3/2.
Tu vas donc trouver AB = 5/V3, au lieu de  V3.

Et 5/V3 = 5*V3/3, si tu multiplies numérateur et dénominateur par V3.

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:05

Oui je comprends ca mais... je ne trouve toujours pas le 5 V3/3
C'est un gros problème...

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:11

oups, je n'avait pas mis a jour la page, c'est pour cela que je n'ai pas vu ce message mais, sin 30, c'est bien V3/2, ce n'est pas 1/2 non?si je me fis au cercle trigonometrique?

Posté par claireCW (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:12

AB/sin30 = 5/sin 60
donc AB = 5 * sin 30 / sin 60.

COmme sin 30 = 1/2, et sin 60 = V3/2, on obtient
AB = (5 * 1/2) / (V3/2) = 5 * 1/2 * (2/V3) = 5 / V3

AB = 5 / V3 docn AB = 5 V3 / 3

Dans ton premier calcul, tu avais inversé sin 30 et sin 60.

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:13

ah non
rectification, je me suis trompée, j'ai confondu le 30degré avec l'angle pi/3

Posté par claireCW (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:13

Sur le cercle trigonométrique, le sin, c'est l'ordonnée, pas l'abscisse ...

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:19

ok dac!
Bon ben, je continue l'exercice et, tu pourrais me répondre un peu plus tard dans environ 30 minutes?

Posté par claireCW (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 17:20

Voui, voui ...

Posté par
ma_corre produit scalaire 31-03-05 à 17:50

Bonjour à tous.
Je vous joins un petit dessin et vous y découvrirez un chemin plus rapide avec a la mesure du côté du triangle équilatéral OBC...

re produit scalaire

Posté par
ma_corre 31-03-05 à 18:01

Si on calcule la distance |OA|, on a : |OA|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 et OA est une médiatrice (hauteur, bissectrice, médiane car triangle équilatéral) et |OA| est (par Pythagore) |OA|=\frac{\sqrt{3}}{2}a.  En comparant les deux réponses, il vient : \frac{\sqrt{3}}{2}a=5\Leftrightarrow a=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}.
Ainsi, |AB|=\frac{a}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 18:08

alors g trouvé pour la 2/a)

oa . ab= xx'+yy'=0
       =3*(3-xb)+4(4-yb)=0
       =9-3xb+16-4yb
       =-3xb-4yb=-25

est-ce correcte?

Posté par
ma_corre 31-03-05 à 18:20

De plus, les vecteurs \vec{n_1}(-4;3) et \vec{n_2}(4;-3) (opposés) sont perpendiculaires à \vec{OA} (car \vec{OA}.\vec{n_1}=3.(-4)+4.3=0 (idem avec \vec{n_2}).
On prend alors un multiple de ces vecteurs de façon à avoir pour longueur \frac{a}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}. Or ||\vec{n_1}||=5 et ||\vec{n_2}||=5. Il suffit donc de les multiplier par \frac{\sqrt{3}}{3}.  En ajoutant le résultat à A, on obtient B et C : \vec{n'_1}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\vec{n_1}=\(\frac{-4\sqrt{3}}{3};\sqrt{3}\)\ et \vec{n'_2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\vec{n_2}=\(\frac{4\sqrt{3}}{3};-\sqrt{3}\), ce qui donne B\(\3-\frac{4\sqrt{3}}{3};4+\sqrt{3}\)\ et C\(\3+\frac{4\sqrt{3}}{3};4-\sqrt{3}\)\.
Voilà.
Peut-être à+

Posté par claireCW (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 18:21

Presque :
les coordonnées du vecteur AB sont (Xb - 4) et (Yb - 3)
En faisant le produit scalaire, tu vas trouver 3Xb + 4Yb = 25

Par contre, ca ne répond pas à la 2 a), mais à la 2 b).
La question 2 a), c'est : comment sont les coordonnées d'un vecteur n quelconque, tel que ||n|| = 5 V3/3

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 18:29

lol merci bcp a toi ma_cor pour ton dessin et ton raisonnement, c'est bcp plus rapide que le mien!

Posté par
ma_corre produit scalaire 31-03-05 à 18:40

Merci Marie123
Mais comme j'y suis plongé depuis beaucoup d'années, je n'en ai pas le mérite...
Un petit conseil : lire l'énoncé en entier afin de trouver le fil d'ariane qui te mènera à la solution...
Penses-y la prochaine fois.

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 19:03

lool ok dac! Mais c'est pas sur que je trouve...
Au fait, pour la question 2/a), je trouve un systàme à résoudre:
Racine (x²+y²)= (5Racine 3 )/ 3
        -3x-4y=-25
Et je ensuite, je trouve
x= (25-4y)/3

Je remplace ensuite le x trouvé depuis la 2e équation que je met dans la 1ere:

(x²+y²)= 25*3/9 = 25/3

((25-4y)/3)² + y² = 25/3

625/9 - 200y/9 + 16y²/9 + y² =25/3

25y²/9 - 200y/9 = -550/9

Et la, je suis bloquée, pouvez vous m'aidez encore?

Posté par Marie123 (invité)re : Produit scalaire 31-03-05 à 19:47

Ahh j'avais pas vu ton message Claire Cw, j'ai donc une erreur de signe..J'espère que cette erreur est la raison du fait que je suis bloquée.. comme ca, je pourrais avancer en la corrigeant
Allez, je vous reponds ds qqs minutes!


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